12、设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；② 函数的导数满足.” 　 (I)判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由； 　 (II)集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意 [m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”， 试用这一性质证明：方程只有一个实数根； 　 (III)设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的. 解：(1)因为，…………2分　 　　　 所以满足条件………………3分 　　　 又因为当时，，所以方程有实数根0. 　　　 所以函数是集合M中的元素.…………4分 　　 (2)假设方程存在两个实数根)， 　　　 则，………5分　 不妨设，根据题意存在数 　　　 使得等式成立，……………………7分 　　　 因为，所以， 　　　 与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；…………9分 　　　 (3)不妨设，因为所以为增函数，所以， 　　　 又因为，所以函数为减函数，………………10分 　　　 所以，…………11分 　　　 所以，即…………12分 　　　 所以 …………………………13分

13、在算式“2×□+1×□=30”的两个口中，分别填入两个自然数，使它们的倒数之和最小，则这两个数应分别为　　　　　 和　　　　 .　 答案：9，12.

14、如图为一几何体的的展开图，其中ABCD是边长 为6的正方形，SD=PD＝6，CR=SC，AQ=AP，点S, D,A,Q及P,D,C,R共线，沿图中虚线将它们折叠起来， 使P，Q，R，S四点重合，则需要　　　　 个这样的 几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体。　 答案：3

15、用水清洗一堆蔬菜上残留的农药的效果假定如下：用x单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与这次清洗前残留的农药量之比为． (Ⅰ)试解释的实际意义； (Ⅱ)现有a(a＞0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药比较少？请说明理由． 答案：解：(I)f(0)=1．表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量没有变化．……………2＇ 　 (Ⅱ)设清洗前蔬菜上的农药量为1，那么用a单位量的水清洗1次后．残留的农药量为 W1=1×f(a)=；……………………………………………………………………4＇ 又如果用单位量的水清洗1次，残留的农药量为1×f()=， 此后再用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为 W2=.f()=[]2=．……………………………8＇ 由于W1－W2=－=，………………………9＇ 故当a>2时，W1>W2，此时，把a单位量的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a=2时，W1=W2，此时，两种清洗方式效果相同；当a<2时，W1<W2，此时，把a单位量的水清洗一次，残留的农药量较少．…………………………12＇

16、直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数f(x)的图象恰好通过k(k∈N*)个格点，则称函数f(x)为k阶格点函数。下列函数： ①　　 f(x)=sinx；　 ②f(x)=π(x－1)2+3；　 ③　 ④， 其中是一阶格点函数的有　　　　　 　.　 答案：①②④

18、已知等比数列{an}的前n项和为Sn. 　　 (Ⅰ)若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，证明am，am+2，am+1成等差数列； 　　 (Ⅱ)写出(Ⅰ)的逆命题，判断它的真伪，并给出证明. 　　 证 (Ⅰ) ∵Sm+1＝Sm+am+1，Sm+2＝Sm+am+1+am+2． 由已知2Sm+2＝Sm+Sm+1，∴ 2(Sm+am+1+am+2)＝Sm+(Sm+am+1)， ∴am+2＝－am+1，即数列{an}的公比q＝－. 　 　∴am+1＝－am，am+2＝am，∴2am+2＝am+am+1，∴am，am+2，am+1成等差数列. 　　 (Ⅱ) (Ⅰ)的逆命题是：若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列. 　　 设数列{an}的公比为q，∵am+1＝amq，am+2＝amq2． 由题设，2am+2＝am+am+1，即2amq2＝am+amq，即2q2－q－1＝0，∴q＝1或q＝－. 　　 当q＝1时，A≠0，∴Sm， Sm+2， Sm+1不成等差数列. 逆命题为假.

19、2005年底，某地区经济调查队对本地区居民收入情况进行抽样调查，抽取1000户，按 高收入 中等收入 低收入 125户 400户 475户 　 本地区确定的标准，情况如右表： 本地区在“十一五”规划中明确 提出要缩小贫富差距，到2010年 要实现一个美好的愿景，由右边圆图显示，则中等收入家庭的数 量在原有的基础要增加的百分比和低收入家庭的数量在原有的基 础要降低的百分比分别为　　　　　　　　　　　　 (　 B　　 ) A．25% , 27.5%　　 B．62.5% , 57.9%　　 C．25% , 57.9%　　 D．62.5%,42.1%

20、一个三位数abc称为“凹数”，如果该三位数同时满足a＞b且b＜c，那么所有不同的三位“凹数”的个数是_____________________． 答案：三位“凹数”可分两类：一类是aba，共有＝45，另一类是abc，a≠c，共有2＝240，故共有45+240＝285个

21、定义运算　，若复数，，则　 。答案：-4

22、从装有个球(其中个白球，1个黑球)的口袋中取出个球,共有种取法。在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的个球全部为白球，共有，即有等式：成立。试根据上述思想化简下列式子：　　　　　　 。。 答案：　 根据题中的信息，可以把左边的式子归纳为从个球(n个白球，k个黑球)中取出m个球，可分为：没有黑球，一个黑球，……，k个黑球等类，故有种取法。