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53、已知函数
，当点
在
的图像上移动时，
点
在函数
的图像上移动．
(1) 若点P坐标为(
)，点Q也在的图像上，求
的值；
(2) 求函数的解析式；
(3) 当
时，试探求一个函数
使得
在限定定义域为
时有最小值而没有最大值．
解：(1)当点
坐标为()，点
的坐标为
，…………2分
∵点也在的图像上，∴
，即
．……5分
(根据函数的单调性求得，请相应给分)
(2)设
在的图像上
则
，即
……………………………………8分
而在的图像上，∴
代入得，
为所求．…………………………………11分
(3)
；或
等．
…………………15分
如：当时，
∵
在单调递减， ∴
故 
，
即有最小值
，但没有最大值．………………………18分
(其他答案请相应给分)
(参考思路)在探求时，要考虑以下因素：①在上必须有意义(否则不能参加与
的和运算)；②由于
和
都是以
为底的对数，所以构造的函数可以是以为底的对数，这样与和进行的运算转化为真数的乘积运算；③以为底的对数是减函数，只有当真数取到最大值时，对数值才能取到最小值；④为方便起见，可以考虑通过乘积消去；⑤乘积的结果可以是
的二次函数，该二次函数的图像的对称轴应在直线
的左侧(否则真数会有最小值，对数就有最大值了)，考虑到该二次函数的图像与轴已有了一个公共点
，故对称轴又应该是
轴或在轴的右侧(否则该二次函数的值在上的值不能恒为正数)，即若抛物线与轴的另一个公共点是
，则
，且抛物线开口向下．