网址：http://www.1010jiajiao.com/paper/timu/5156511.html[举报]
55、对数列
，规定
为数列的一阶差分数列，其中
。
对自然数
，规定
为的阶差分数列，其中
。
(1)已知数列的通项公式
，试判断，
是否为等差或等比数列，为什么？
(2)若数列首项
，且满足
，求数列的通项公式。
(3)对(2)中数列，是否存在等差数列
，使得
对一切自然
都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。
解：(1)
，∴是首项为4，公差为2的等差数列。
∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。
(2)
，即
，即
，∴
∵，∴
，
，
，猜想：
证明：ⅰ)当
时，
；
ⅱ)假设
时，
时，
结论也成立
∴由ⅰ)、ⅱ)可知，
(3)，即
∵
∴存在等差数列，
，使得对一切自然都成立。