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2．(人教A版选修1－1，2－1第40页练习第3题)
已知经过椭圆
的右焦点
作垂直于x轴的直线A B，交椭圆于A，B两点，
是椭圆的左焦点．
(1)求
的周长；
(2)如果AB不垂直于x轴，的周长有变化吗？为什么？
变式1(2005年全国卷Ⅲ)：设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是
A．
B．
C．
D．
解一：设椭圆方程为
，依题意，显然有
，则
，即
，即
，解得
．选D．
解二：∵△F1PF2为等腰直角三角形，∴
.
∵
，∴
，∴
．故选D．
变式2：已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点P在双曲线的右支上，且
，则此双曲线的离心率e的最大值为
．
解一：由定义知
，又已知，解得
，
，在
中，由余弦定理，得
，要求
的最大值，即求
的最小值，当
时，解得
．即的最大值为
．
解二：设
，由焦半径公式得
，∵
，∴
，∴
，∵
，∴
，∴的最大值为．
变式3(2005年全国卷Ⅰ)：已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在
轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，
与
共线．
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)设M为椭圆上任意一点，且
，证明
为定值．
解：(Ⅰ)设椭圆方程为
，
则直线AB的方程为
，代入
，化简得
.
设A(
)，B
)，则
由
与
共线，得
又
，
即
，所以
，
故离心率
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知
，所以椭圆可化为
设
，由已知得
在椭圆上，
即
①
由(Ⅰ)知
又
，代入①得
故
为定值，定值为1.