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19．解：由条件知
，设
，
．
(I)当
与
轴垂直时，可设点
的坐标分别为
，
，
此时
．
当不与轴垂直时，设直线的方程是
．
代入
，有
．
则
是上述方程的两个实根，所以
，
，
于是
．
综上所述，
为常数
．
(II)解法一：设
，则
，
，
，
，由
得：
即
于是的中点坐标为
．
当不与轴垂直时，
，即
．
又因为两点在双曲线上，所以
，
，两式相减得
，即
．
将代入上式，化简得
．
当与轴垂直时，
，求得
，也满足上述方程．
所以点
的轨迹方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
当不与轴垂直时，由(I) 有．…………………②
．………………………③
由①②③得
．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
当
时，
，由④⑤得，
，将其代入⑤有
．整理得．
当
时，点的坐标为
，满足上述方程．
当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．
故点的轨迹方程是．
湖北理