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[例1](2005年.辽宁卷21)

已知椭圆的左、右焦点分别是F₁(－c，0)、F₂(c，0)，Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点T在线段F₂Q上，并且满足

　 (Ⅰ)设为点P的横坐标，证明；

　 (Ⅱ)求点T的轨迹C的方程；

　 (Ⅲ)试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M使△F₁MF₂的面积S=若存在，求∠F₁MF₂ 的正切值；若不存在，请说明理由.

　解 ： (Ⅰ)证法一：设点P的坐标为

由P在椭圆上，得

由，所以

证法二：设点P的坐标为记

则

由

证法三：设点P的坐标为椭圆的左准线方程为

　　　 由椭圆第二定义得，即

　　　 由，所以

(Ⅱ)解法一：设点T的坐标为　

　　　　　 当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.

当|时，由，得.

又，所以T为线段F₂Q的中点.

在△QF₁F₂中，，所以有

综上所述，点T的轨迹C的方程是　

解法二：设点T的坐标为　

当时，点(，0)和点(－，0)在轨迹上.

　　　 当|时，由，得.

　　　 又，所以T为线段F₂Q的中点.

　　　 设点Q的坐标为()，

则

　　　 因此　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　 由得　　　　 ②

　　　 将①代入②，可得

　　　 综上所述，点T的轨迹C的方程是　

　　　 由③得，由④得　 所以，当时，存在点M，使S=；

　　　 当时，不存在满足条件的点M.

　　　 当时，，

　　　 由，

　　　 ，

　　　 ，得

解法二：C上存在点M()使S=的充要条件是

　　　 由④得　 上式代入③得

　　　 于是，当时，存在点M，使S=；

　　　 当时，不存在满足条件的点M.

　　　 当时，记，

　　　 由知，则

[例2](2005年.重庆卷.理21)

　　　 已知椭圆C₁的方程为，双曲线C₂的左、右焦点分别为C₁的左、右顶点，而C₂的左、右顶点分别是C₁的左、右焦点.

　 (Ⅰ)求双曲线C₂的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆C₁及双曲线C₂都恒有两个不同的交点，且l与C₂的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围.

解：(Ⅰ)设双曲线C₂的方程为，则

故C₂的方程为

(Ⅱ)将代入得

由直线l与椭圆C₁恒有两个不同的交点得

即　 　　　　　　①

.

由直线l与双曲线C₂恒有两个不同的交点A，B得

解此不等式得

　　　　　　　　　　　 　　③

由①、②、③得

故k的取值范围为

[例3](2005年.全国卷Ⅰ.理21文22)

　　　 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线.

　 (I)求椭圆的离心率；

　 (II)设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.

　 解：(I)设椭圆方程为

　　　 则直线AB的方程为

　　　 化简得.

　　　 令

　　　 则

　　　 共线，得

(II)证明：由(I)知，所以椭圆可化为.

　　　 在椭圆上，

　　　 即　 　①

　　　 由(I)知

又又，代入①得　

故为定值，定值为1.