19．解：(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
(1)∵，
∴(或其补角)为异面直线AD与A1B1所成的角，
………………………2分，连结BD，
在中，∵AC=4，
∴，
在中，∵BC=3，CD=2，∴，
在△ABD中，∵AB=5，
∴异面直线AD与A1B1所成角的余弦值为………………………………4分
(2)证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴，
∵底面ABC⊥侧面ACC1A1，∴BC⊥侧面ACC1A1，………………………………6分
取AB、AC的中点E、F，连结EF、A1F，则EF//BC，
∴EF⊥平面ACC1A1， ∴A1F为A1E在侧面AC1内的射影，
在正方形C1CAA1内，∵ D、F分别为CC1、AC的中点，
∴≌，∴，
∴，∴，
∴(三垂线定理)………………8分
(3)连结，过D作DH⊥，垂足为H。
∵EF//BC，BC//B1C1，∴EF// B1C1，∴点F在平面B1C1E内。
∵EF⊥平面ACC1A1，平面ACC1A1，EF⊥DH，………………10分
∵，，∴DH⊥平面B1C1E。
在中，∵，∴。……………12分
