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19．解：(1)在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，

(1)∵，

∴(或其补角)为异面直线AD与A₁B₁所成的角，

………………………2分，连结BD，

　 在中，∵AC=4，

∴，

在中，∵BC=3，CD=2，∴，

在△ABD中，∵AB=5，

∴异面直线AD与A₁B₁所成角的余弦值为………………………………4分

(2)证明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴，

∵底面ABC⊥侧面ACC₁A₁，∴BC⊥侧面ACC₁A₁，………………………………6分

取AB、AC的中点E、F，连结EF、A₁F，则EF//BC，

∴EF⊥平面ACC₁A₁，　 ∴A₁F为A₁E在侧面AC₁内的射影，

在正方形C₁CAA₁内，∵ D、F分别为CC₁、AC的中点，

∴≌，∴，

∴，∴，

∴(三垂线定理)………………8分

(3)连结，过D作DH⊥，垂足为H。

∵EF//BC，BC//B₁C₁，∴EF// B₁C₁，∴点F在平面B₁C₁E内。

∵EF⊥平面ACC₁A₁，平面ACC₁A₁，EF⊥DH，………………10分

∵，，∴DH⊥平面B₁C₁E。

在中，∵，∴。……………12分