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12. 同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；
反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语
言描述为：若有限数列
满足
，则
(结论用数学式子表示).
数 学 试 卷
参考答案及评分标准
一．(第1至12题)每一题正确的给4分，否则一律得零分.
1. 
.
2. 2. 3. 
. 4. 
.
5. 
. 6.
. 7. 48. 8. 
.
9. 
. 10.
2. 11. 4.
12. 
和
二．(第13至16题)每一题正确的给4分，否则一律得零分.
|
题 号 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
代 号 |
B |
C |
A |
B |
三．(第17至22题)
17. [解法一] 连接
，
为异面直线
与
所成的角. ……4分
连接
，在△
中，
，
……6分
则
. ……10分
异面直线与所成角的大小为
.
……12分
[解法二] 以
为坐标原点，分别以
、
、
所在直线为
轴、
轴、
轴，建立空间直角坐标系.
……2分
则 
，
得 
.
……6分
设
与
的夹角为
，
则
， ……10分
与的夹角大小为，
即异面直线与所成角的大小为.
……12分
18. [解法一] 
，
……4分
.
……8分
若实系数一元二次方程有虚根
，则必有共轭虚根
.
，
所求的一个一元二次方程可以是
.
……12分
[解法二] 设
，
得 
，
……4分
以下解法同[解法一].
19. [解](1)
，
……2分
……4分
.
……8分
(2)
，
……10分
， 
， 
，
函数
的值域为
.
……14分
20. [解](1)设曲线方程为
， 由题意可知，
.
. ……4分
曲线方程为
.
……6分
(2)设变轨点为
，根据题意可知
得 
，
或
(不合题意，舍去).
.
……9分
得 
或
(不合题意，舍去). 
点的坐标为
，
……11分
.
答：当观测点
测得
距离分别为
时，应向航天器发出变轨指令.
……14分
21. [解](1)
……4分
(2)方程
的解分别是
和
，由于在
和
上单调递减，在
和
上单调递增，因此
.
……8分
由于
.
……10分
(3)[解法一] 当
时，
.
，
……12分
. 又
，
① 当
，即
时，取
，
.
，
则
.
……14分
② 当
，即
时，取
， ＝
.
由 ①、②可知，当
时，
，.
因此，在区间
上，
的图像位于函数图像的上方. ……16分
[解法二] 当时，.
由
得
，
令 
，解得
或
，
……12分
在区间上，当时，
的图像与函数的图像只交于一点
； 当时，
的图像与函数的图像没有交点. ……14分
如图可知，由于直线过点
，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.
……16分
22. [解](1)
.
…… 4分
(2)
，
…… 8分
，
当
时，
.
…… 12分
(3)所给数列可推广为无穷数列
，其中
是首项为1，公差为1的等差数列，当
时，数列
是公差为
的等差数列.
…… 14分
研究的问题可以是：试写出
关于
的关系式，并求的取值范围.…… 16分
研究的结论可以是：由
，
依次类推可得 
当
时，
的取值范围为
等.
…… 18分