数 学 试 卷

参考答案及评分标准

一．(第1至12题)每一题正确的给4分，否则一律得零分.

　 1. .　　　　　　　　　　　　 2. 2. 　　　　　　　　3. .　 　　　　4. .

　 5. .　 　　　　6. . 　　　7. 48. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8. .　　　

　 9. . 　　　　　　　　　　　10. 2.　 　　　　　　　　11. 4.　　　 　

　12. 和

二．(第13至16题)每一题正确的给4分，否则一律得零分.

三．(第17至22题)

17. [解法一] 连接，

　　　　　　 为异面直线与所成的角.　　　　　　　　　 ……4分

　　　　　　 连接，在△中，，　　　　　　　　　　　　　 　……6分

　　　　　　 则

　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .　　　　 ……10分

　　　　　　 　异面直线与所成角的大小为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

[解法二] 以为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　　　　 则 ，

　　　　　　 得 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　　　　　 设与的夹角为，

　　　　　　 则，　　　 ……10分

　　　　　　 　与的夹角大小为，　

　　　　　　 即异面直线与所成角的大小为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

18. [解法一] ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　　　　　 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.　

　　　　　　 ，

　　　　　　 　所求的一个一元二次方程可以是.　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

　　 [解法二] 设

　　　　　　　 ，

　　　　　　　 得 　　　

　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……4分

　　　　　　　 以下解法同[解法一].

19. [解](1)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……2分

　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

　.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　　 (2)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　　　　 ，　　　　 ，　　　　 　　　，

　　　　 　函数的值域为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

20. [解](1)设曲线方程为，　　 由题意可知，.　　 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

　　　 　曲线方程为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……6分

　　 (2)设变轨点为，根据题意可知

　　　 　　　　　　得 ，

　　　　　 或(不合题意，舍去).

　　　　　　　　　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……9分

　　　　　 得 或(不合题意，舍去).　　 点的坐标为，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

　　　　　　　 .

　　　 答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　……14分

21. [解](1)

　　　　　　　　　　　　 ……4分　　　　　　　　　　　

　　　　　 (2)方程的解分别是和，由于在和上单调递减，在和上单调递增，因此

.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……8分

　　　 由于.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……10分

　 (3)[解法一] 当时，.

　　　　　　　　　　　　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

　　　　　　 . 又，

　　　　　　 ①　 当，即时，取，

　　　　　　 .

　　　　　　 ，

　　　　　　 则.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……14分

　　　　　　 ②　 当，即时，取，　　　 ＝.

　　　 由 ①、②可知，当时，，.

　　　 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.　 ……16分

　　　 [解法二] 当时，.

由　得，

　　　 令 ，解得 或，　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……12分

在区间上，当时，的图像与函数的图像只交于一点； 当时，的图像与函数的图像没有交点.　　　　　　 ……14分

　　　 如图可知，由于直线过点，当时，直线是由直线绕点逆时针方向旋转得到. 因此，在区间上，的图像位于函数图像的上方.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……16分

22. [解](1).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 4分

　　 (2)，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 8分

　　　 ，

　　　 当时，.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 12分

　　 (3)所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.　　　　　 …… 14分

研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.…… 16分

研究的结论可以是：由，

　　　 依次类推可得　

　　　 当时，的取值范围为等.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …… 18分