参考答案

1．D　　　　　　　　　　　　 2．A　　　　　 3．C　　　　　　 4．D　　　　　 5．(理)C　　　　 (文)B　　　　　　　 6．B　　　　　　 7．(理)C

(文)B　　　　　　　 8．D　　　　　 9．C　　　　　　 10．D　　　　 11．C　　　　　　　　　　　 12．A

13．

14．

15．(理)10　　　　　　　　 (文)85

16．8

17．解：把原不等式变为＞0 ，(3分)

∴当a = 0 ，原不等式的解集为(－∞，0) (6分)

a＞0时，原不等式的解集为(－∞，0)∪(9分)

当a＜0时，原不等式的解集为(，0)(12分)

18．解：(1)易选择y = A cost + B的解析式(2分)

　　　　　　 进而求A = 1.5 , =, B = 1.51。所以函数解析式为：

　　　　　　 y = 1.5 cost +1.51 。(8分)

　　　　　　 (2)由(1)可知当t = 14时，

y = 1.5 cos (×14 ) + 1.51 = 1.5×+ 1.51 = 2.26 (m)

所以，午后两点水位高出海平面2.26 m (12分)

19．(1)，

　　　　　　 又A₁D⊥BE，所以A₁D⊥面BDE 。(4分)

　　　　　　 (2)连接如图所示B₁C ，

　　　　　　 EC⊥面ABCDEC⊥BD

　　　　　　 为二面角E-BD-C的平面角。由△BB₁C∽△CBE

　　　　　　 可得EC =，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　 所以tan∠EBC =，∠EBC = arctan(8分)

　　　　　　 (3)连接DE，作HB垂直DF于H，则易证BH⊥面DA₁E，BH的长即为所求。在直角三角形BDE中，易求得BH =。也可用V_B–A1DE = V_{E –A1DB} 求解。(12分)

20．解：(1)= S_n ，( n≥1)　　 = S_n–1 　　 ( n≥1 )

　　　　　　 ∴–= a_n , ( n≥2 ) 。(4分)

　　　　　　 整理得：a_n+1 =　，(n≥2) ，

　　　　　　 a_n = 　， (3分)

　　　　　　 a_n–1 =

　　　　　　 …

　　　　　　 a₃ =

各式相乘得：a_n =　(n≥3)

由已知可得a₂ = 2 , a₁ = 1 ， 所以a_n = n , ( n ≥1)　 (6分)

(2)b_n = 2n .n，由错位相减法可得T_n = ( n – 1 ).2ⁿ⁺¹ + 2　　　　　 (12分)

21．解：(理)f′( x ) = 2x + 　，

　　　　　　 (1)由题意有f′( x )≤0在x∈(0，2)上恒成立。

　　　　　　 所以当x∈(0，2)时，2x +≤0恒成立。

　　　　　　 即：x∈(0，2)时，a≤– 2x²∈(－∞，0)

　　　　　　 所以a≤– 8(6分)

　　　　　　 (2)假设存在与y = 2x平行或重合的切线，则2x +　= 2有正根。

　　　　　　 即：方程a = – 2x² + 2x = –2+有正数解。(8分)

　　　　　　 当a＞时，不存在满足条件的切线；

　　　　　　 当a =时，存在一条满足条件的切线；

　　　　　　 当0＜a＜时，存在两条满足条件的切线；

　　　　　　 当a＜0时，存在一条满足条件的切线。(12分)

　　　　　　 (文)f′( x ) = 3x² – 2ax – 4 ，

　　　　　　 (1)由题意：f′( x )≤0在x∈(0，2)上恒成立。

　　　　　　 (2)假设存在满足条件的a的值，则关于x的一元二次方程

　　　　　　 3x² – 2ax – 4 = –5 有解，即△= 4a² –12≥0成立，

所以a≥或a≤　 。(12分)

22．解：(1)依题意，可设直线AB的方程为y = kx + m ,代入抛物线方程x² = 4y得

　　　　　　　　　　　　　 x² – 4kx – 4m – 0　　 ① (2分)

　　　　　　 设A，B两点的坐标分别是( x₁，y₁ ) , ( x₂，y₂ )，则x₁, x₂是方程①的两根，所以x₁x₂ = – 4 m，由点P ( 0 , m ) 分有向线段所成的比为，得= 0，即= –，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是 ( 0 , m ) ，从而= ( 0, 2m )。= ( x₁ , y₁ + m ) –( x₂ , y₂ + m ) = ( x₁ –x₂ , y₁ + ( 1 –) m ) 。

　　　　　　 　= 2m [y₁ –y₂ + ( 1 –) m ]

　　　　　　 = 2m

　　　　　　 =2m ( x₁ + x₂ ).= 0

　　　　　　 所以　。(7分)

　　　　　　 (2)由　 得点A、B的坐标分别是(–4 ，4)和(6，9)

　　　　　　 由x² = 4y得y = ,所以折射线x² = 4y在点A处切线的斜率为y′| _{x = – 4} = –2 (9分)

　　　　　　 设圆C的方程是(x – a )² + ( y – b )² = r²　　

　　　　　　 则

　　　　　　 解之得

　　　　　　 r² = ( a + 4 )² + ( b – 4 )² =

　　　　　　 所以圆C的方程是( x –1 )² +

　　　　　　 即x² + y² –2x –13y + 12 = 0 (14分)