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5．若，则下列命题中正确的是(　D　)

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　

C．　　　　　　　　　　 D．

(江西文8)

若，则下列命题正确的是(　 B )

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

(辽宁理12)

已知与是定义在上的连续函数，如果与仅当时的函数值为0，且，那么下列情形不可能出现的是(　　 )

A．0是的极大值，也是的极大值

B．0是的极小值，也是的极小值

C．0是的极大值，但不是的极值

D．0是的极小值，但不是的极值

(全国一文11)

曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( A　 )

A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

(全国二文8)

已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(　 A　 )

A．1　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　 D．4

(浙江理8)

设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是(　 D　 )

　(北京文9)

是的导函数，则的值是＿＿＿＿．3

(广东文12)

函数的单调递增区间是＿＿＿＿．

(江苏13)

已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则＿＿．32

(湖北文13)

已知函数的图象在点处的切线方程是，则＿＿＿＿．3

(湖南理13)

函数在区间上的最小值是＿＿＿＿．

(浙江文15)

曲线在点处的切线方程是＿＿＿＿．

(安徽理　 18)

设a≥0，f (x)=x－1－ln² x+2a ln x(x>0).

(Ⅰ)令F(x)＝xf＇(x)，讨论F(x)在(0.+∞)内的单调性并求极值；

(Ⅱ)求证：当x>1时，恒有x>ln²x－2a ln x+1.

本小题主要考查函数导数的概念与计算，利用导数研究函数的单调性、极值和证明不等式的方法，考查综合运用有关知识解决问题的能力．本小题满分14分．

(Ⅰ)解：根据求导法则有，

故，

于是，

列表如下：

		2
		0
		极小值

故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．

(Ⅱ)证明：由知，的极小值．

于是由上表知，对一切，恒有．

从而当时，恒有，故在内单调增加．

所以当时，，即．

故当时，恒有．

(安徽文 20)

设函数f(x)=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,其中≤1，将f(x)的最小值记为g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表达式；

(Ⅱ)诗论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值.

本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．

解：(I)我们有

　　　　　　　 　．

由于，，故当时，达到其最小值，即

．

　(II)我们有．

列表如下：

		极大值		极小值

由此可见，在区间和单调增加，在区间单调减小，极小值为，极大值为．

(北京理 19)

如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为．

(I)求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；

(II)求面积的最大值．

解：(I)依题意，以的中点为原点建立直角坐标系(如图)，则点的横坐标为．

点的纵坐标满足方程，

解得

　，

其定义域为．

(II)记，

则．

令，得．

因为当时，；当时，，所以是的最大值．

因此，当时，也取得最大值，最大值为．

即梯形面积的最大值为．

(福建理 22)

已知函数

(Ⅰ)若，试确定函数的单调区间；

(Ⅱ)若，且对于任意，恒成立，试确定实数的取值范围；

(Ⅲ)设函数，求证：．

本小题主要考查函数的单调性、极值、导数、不等式等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力．满分14分．

解：(Ⅰ)由得，所以．

　　　 由得，故的单调递增区间是，

　　　 由得，故的单调递减区间是．

　　　 (Ⅱ)由可知是偶函数．

　　　 于是对任意成立等价于对任意成立．

　　　 由得．

　　　 ①当时，．

　　　 此时在上单调递增．

　　　 故，符合题意．

　　　 ②当时，．

　　　 当变化时的变化情况如下表：

	单调递减	极小值	单调递增

由此可得，在上，．

依题意，，又．

综合①，②得，实数的取值范围是．

(Ⅲ)，

，

，

由此得，

故．

(福建文 20)

设函数．

(Ⅰ)求的最小值；

(Ⅱ)若对恒成立，求实数的取值范围．

本题主要考查函数的单调性、极值以及函数导数的应用，考查运用数学知识分析问题解决问题的能力．满分12分．

解：(Ⅰ)，

当时，取最小值，

即．

(Ⅱ)令，

由得，(不合题意，舍去)．

当变化时，的变化情况如下表：

	递增	极大值	递减

在内有最大值．

在内恒成立等价于在内恒成立，

即等价于，

所以的取值范围为．

(广东理、文 20)

已知是实数，函数．如果函数在区间上有

零点，求的取值范围．

解: 若　, 　,显然在上没有零点, 所以　

　　　　 令 　　　得　

　　　　 当 时,　 恰有一个零点在上;

　　　　 当 　即　 　时, 也恰有一个零点在上;

当　 在上有两个零点时, 则

　　　 　　　　或

解得或

因此的取值范围是　 　或　 　;

(海南理 21)

设函数

(I)若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；

(II)若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．

解：(Ⅰ)，

依题意有，故．

从而．

的定义域为，当时，；

当时，；

当时，．

从而，分别在区间单调增加，在区间单调减少．

(Ⅱ)的定义域为，．

方程的判别式．

(ⅰ)若，即，在的定义域内，故的极值．

(ⅱ)若，则或．

若，，．

当时，，当时，，所以无极值．

若，，，也无极值．

(ⅲ)若，即或，则有两个不同的实根，．

当时，，从而有的定义域内没有零点，故无极值．

当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由根值判别方法知在取得极值．

综上，存在极值时，的取值范围为．

的极值之和为

．

(海南文 19)

设函数

(Ⅰ)讨论的单调性；

(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值．

解：的定义域为．

(Ⅰ)．

当时，；当时，；当时，．

从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为．

又．

所以在区间的最大值为．

(湖北理 20)

已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．

(I)用表示，并求的最大值；

(II)求证：()．

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．

解：(Ⅰ)设与在公共点处的切线相同．

，，由题意，．

即由得：，或(舍去)．

即有．

令，则．于是

当，即时，；

当，即时，．

故在为增函数，在为减函数，

于是在的最大值为．

(Ⅱ)设，

则．

故在为减函数，在为增函数，

于是函数在上的最小值是．

故当时，有，即当时，．

(湖北文 19)

设二次函数，方程的两根和满足．

(I)求实数的取值范围；

(II)试比较与的大小．并说明理由．

本小题主要考查二次函数、二次方程的基本性质及二次不等式的解法，考查推理和运算能力．

解法1：(Ⅰ)令，

则由题意可得．

故所求实数的取值范围是．

(II)，令．

当时，单调增加，当时，

，即．

解法2：(I)同解法1．

(II)，由(I)知，

．又于是

，

即，故．

解法3：(I)方程，由韦达定理得

，，于是

．

故所求实数的取值范围是．

(II)依题意可设，则由，得

，故．

(湖南理 19)

如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为()，且，点到平面的距离(km)．沿山脚原有一段笔直的公路可供利用．从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km()时，其造价为万元．已知，，，．

(I)在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；

(II) 对于(I)中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小．

(III)在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价，证明你的结论．

解：(I)如图，，，，

由三垂线定理逆定理知，，所以是

山坡与所成二面角的平面角，则，

．

设，．则

．

记总造价为万元，

据题设有

当，即时，总造价最小．

(II)设，，总造价为万元，根据题设有

．

则，由，得．

当时，，在内是减函数；

当时，，在内是增函数．

故当，即(km)时总造价最小，且最小总造价为万元．

(III)解法一：不存在这样的点，．

事实上，在上任取不同的两点，．为使总造价最小，显然不能位于　与之间．故可设位于与之间，且=，，，总造价为万元，则．类似于(I)、(II)讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于(II)中得到的最小总造价．

解法二：同解法一得

．

当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一．

(湖南文 21)

已知函数在区间，内各有一个极值点．

(I)求的最大值；

(II)当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象(即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧)，求函数的表达式．

解：(I)因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，

设两实根为()，则，且．于是

，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．

(II)解法一：由知在点处的切线的方程是

，即，

因为切线在点处空过的图象，

所以在两边附近的函数值异号，则

不是的极值点．

而，且

．

若，则和都是的极值点．

所以，即，又由，得，故．

解法二：同解法一得

．

因为切线在点处穿过的图象，所以在两边附近的函数值异号，于是存在()．

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

设，则

当时，，当时，；

或当时，，当时，．

由知是的一个极值点，则，

所以，又由，得，故．

(辽宁理 22)

已知函数，．

(I)证明：当时，在上是增函数；

(II)对于给定的闭区间，试说明存在实数　　 ，当时，在闭区间上是减函数；

(III)证明：．

(辽宁文 22)

已知函数，，且对任意的实数均有，．

(I)求函数的解析式；

(II)若对任意的，恒有，求的取值范围．

(全国一 理20)

设函数．

(Ⅰ)证明：的导数；

(Ⅱ)若对所有都有，求的取值范围．

解：(Ⅰ)的导数．

由于，故．

(当且仅当时，等号成立)．

(Ⅱ)令，则

，

(ⅰ)若，当时，，

故在上为增函数，

所以，时，，即．

(ⅱ)若，方程的正根为，

此时，若，则，故在该区间为减函数．

所以，时，，即，与题设相矛盾．

综上，满足条件的的取值范围是．

(全国一文 20)

设函数在及时取得极值