1．人教A版选修2-2第79页例1：已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式． 变式1：已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式． 解：，，…，一般地有； 本题也可以直接求出通项公式． 由得，，即， 所以数列是首项为，公差为2的等差数列，则， 而，则． 理科学生还可以先归纳，提出猜想，然后用数学归纳法证明． 变式2：已知数列的第1项，且，试归纳出这个数列的通项公式． 解：，，…，一般地有； 本题也可以直接求出通项公式． 由得，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，则， 而，则． 由变式(1)、变式(2)你能总结出什么规律？ 对满足型的数列，当时采取取倒数的方法即可得出数列是等差数列，再根据等差数列的通项公式即可求出数列的通项． 变式3：(2005年高考湖南卷)已知数列的第1项，且，则 A．0　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　 D． 解法1：由于，，则，，，由此归纳出数列是以3为周期的数列，则，选B． 解法2：，令，则， 则，即，， 而，则，； 变式4：(2007年广州市高考二模)已知数列满足，()，则的值为　　　　　　 ， 的值为　　　　　　　 ． [思路1]分别求出、、、，可以发现，且，故． [思路2]由，联想到两角和的正切公式，设，则有，，，，……． 则，故． 从以上变式3到变式5，你能受到什么启发呢？结构与两角和或差正切公式相似，这样的数列一定是周期数列．

1．人教A版选修2-2第96页例1 在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且A，B，C成等差数列，成等比数列，求证ΔABC为等边三角形． 变式1：在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且A，B，C成等差数列，也成等差数列，求证ΔABC为等边三角形． 　证明：由A，B，C成等差数列知，，由余弦定理知， 又也成等差数列，∴，代入上式得， 整理得，∴，从而，而，则， 从而ΔABC为等边三角形． 变式2：在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且成等比数列，成等差数列，求证ΔABC为等边三角形． 证明：由于成等比数列，则，即　∴(1) 又成等差数列，则　 则， 由于，∴，即　　 (2) 将(2)式代入(1)式得：， ∴或(舍去)，而，∴　 (3) 将(3)代入(1)得：，由于，∴， 因此，从而ΔABC为等边三角形． 变式3：在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且成等比数列，成等比数列，求证ΔABC为等边三角形． 证明：由于成等比数列，则，即　 ∴　 (1) 又成等比数列，则，∴， 即　 (2) 将(2)代入(1)得：，∴或(舍去) 而，∴　 (3)将(3)代入(1)得：， 由于，∴，因此，从而ΔABC为等边三角形． 变式4：在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且成等差数列，成等差数列，求证ΔABC为等边三角形． 证明：由于成等差数列，则= ∴　 (1) 又成等差数列，则，∴， 由于，∴　 (2) 将(1)代入(2)得，∴，而，∴　 (3)将(3)代入(2)得：，由于，∴， 因此，从而ΔABC为等边三角形． 变式5： 在ΔABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为，且成等差数列，成等比数列，求证ΔABC为等边三角形． 证明：由于成等差数列，则= ∴，则　 (1) 又成等比数列，则，∴， 即　 (2) 将(1)代入(2)整理得: 即，分解因式得 ，∴或(舍去)或(舍去) 而，∴　 (3)将(3)代入(2)得：， 由于，∴，因此，从而ΔABC为等边三角形．

2．人教A版选修2-2第101页例5：求证是无理数 变式1：求证是无理数 证明：假设是无理数，则存在互质的数，使得，从而 ，即， 所以为3的倍数，于是可设，因此，，即，所以也为3的倍数，这与互质矛盾，由此可知假设是错误的，从而是无理数． 变式2：若为奇数，则是无理数． 证明：假设是有理数，则存在互质的数，使得，则 ，∴，∴，∴为偶数， 由于为偶数，说明，与同为偶数或同为奇数，由于它们的积为偶数，则与同为偶数，设，，从而有 即，∴为偶数，∴为偶数，则也为偶数，这与互质矛盾，由此可知假设是错误的，从而是无理数．

人教A版选修2-2第106页例1：用数学归纳法证明 ． 变式1：是否存在常数，使得对一切正整数都成立？并证明你的结论． 解：假设存在常数使等式成立，令得：解之得，下面用数学归纳法证明：对一切正整数都成立．(略) 变式2：已知，是否存在的整式，使得等式对于大于1的一切正整数都成立？并证明你的结论． 解：假设存在， 令，求得，令，求得，令，求得， 由此猜想：，下面用数学归纳法证明：对一切大于1的正整数都成立．(略)