08届考文科数学模拟试题(三)参考答案

一、1 B　　 　　2 D　　 　3 A　　 4 D　　 　　5 C　　　 　6 B　　　

7 A　　　 　8　 A　　 9 C　　 10 D　　　 11 C　　　 12 B

二、13、3 　　　　14、　　　　　 15、-160 　　　　　　16、 　　

三、17、解: (1)　 　　　　……… 3分

　　　　 的最小正周期为　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………… 5分

(2)　 ,　　　 …………………　　 7分　　　　　

　　　　　　　　　　　　　 　………………… 10分　　

　 　　　　　　　　　　　　　…………………　 11分

　当时,函数的最大值为1,最小值　 ……… 12分

18.解：(1)P₁=；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……… 6分

(2)方法一：P₂=

方法二：P₂=

方法三：P₂=1-　　　　　　　　　　　 ……… 12分

19、解法一：

(Ⅰ)连结C交BC于O，则O是B C的中点，连结DO。

∵在△AC中，O、D均为中点，

∴A∥DO…………………………2分

∵A平面BD，DO平面BD，

∴A∥平面BD。…………………4分

(Ⅱ)设正三棱柱底面边长为2，则DC = 1。

　　　 ∵∠DC = 60°，∴C= 。

作DE⊥BC于E。

∵平面BC⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BC

作EF⊥B于F，连结DF，则 DF⊥B

∴∠DFE是二面角D-B-C的平面角………………8分

在Rt△DEC中，DE=

在Rt△BFE中，EF = BE.sin

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－B－C的大小为arctan………………12分

解法二：以AC的中D为原点建立坐标系，如图，

设| AD | = 1∵∠DC =60°∴| C| = 。

　　　　 则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(-1，0，0)，

(1，0)，　，

(Ⅰ)连结C交B于O是C的中点，连结DO，则　　　　　

　　　　 O.　　　　　　 =

∵A平面BD，

∴A∥平面BD.………………………………………………4分

(Ⅱ)=(-1，0，)，

　　　 　　 设平面BD的法向量为n = ( x , y , z )，则

　　　 　　 即　 则有= 0令z = 1

则n = (，0，1)　　　　　　　　　 …………………………………8分

　　　 　　 设平面BC的法向量为m = ( x′ ,y′，z′)

　　　 　 令y = -1，解得m = (，-1，0)

　　　 　 二面角D -B-C的余弦值为cos＜n , m＞＝

∴二面角D-B-C的大小为arc cos　　　　　　　　　　　　　　 …………12分

20、解: 解：

　 　　　(1)f(x)=x³+ax²+bx+c,　　　 f′(x)=3x²+2ax+b,

　　　　　　　　 由f′(-)=a+b=0,　　 f′(1)=3+2a+b=0,得

　　　　　 　　　a=－，b=－2，…………　 3分

f′(x)=3x²-x-2=(3x+2)(x-1)，函数f(x)的单调区间如下表：

x	(-∞，－)	－	(－，1)	1	(1，+∞)
f′(x)	+	0	－	0	+
f(x)	↗	极大值	↘	极小值	↗

所以函数f(x)的递增区间为(－∞，－)与(1，+∞)；

递减区间为(－，1).　　　　　　　　　　　　 …………　 6分

(2)f(x)=x³-x²-2x+c　 x∈［-1，2］，当x=-时，f(x)=+c为极大值，

而f(2)=2+c，则f(2)=2+c为最大值. 　　　　　…………　 8分

要使f(x)＜c²(x∈［-1，2］)恒成立，只须c²＞f(2)=2+c，

解得c＜－1或c＞2. 　　　　　　　　　　　　　　…………　 12分

21、(I)解：方程的两个根为，，

当时，，所以；

当时，，，所以；

当时，，，所以时；

当时，，，所以．　　　　　 …………　 4分

(II)解：

．　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　…………　 8分

(Ⅲ)=　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………　 12分

22、解： (I)依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,

离心率为的椭圆

设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,

又，，∴点在x轴上,且,且则3

解之得：,　 　　　∴坐标原点为椭圆的对称中心　

∴动点M的轨迹方程为：　 　　　　　　…………　 4分

(II)设,设直线的方程为,代入得

　 　　　　　　　　　　　　　　　　　………… 5分

,　

　　　 ………… 6分

,,

,

解得:　(舍)　 　∴ 直线EF在X轴上的截距为 　　　…………8分

(Ⅲ)设,由知,　

直线的斜率为　 　　………… 10分

当时,;

当时,,

时取“=”)或时取“=”)，

　　　　　　　　　　　　 ………… 12分　　　　　　　　　　　　

综上所述　 　　　　　　　　　　　　　　　　………… 14分