参考答案

命题人：徐唐藩　 校对：涂彩琴　 方肇飞　　 编审：高三数学组

一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)

　　提示：(文)

　　　　 12.(文)由二次函数的值域是,得且,∴且

　　　　　　　 ,.∴.当时取等号.

　 (理)提示：由二次函数的值域是,得且,∴且

　　　　　　　 ,.∴.

　　　　　　　 当时取等号.

二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上)

　　　 　　　13.　 　　　　　　　14.(文)　　(理)　　　 　　　　　15.　 　　　　　　16.

三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

　17.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)由、、成等差数列及,知.

　　　　　 ∵,∴.由、、为三角形

　　　　　　 内角,且,∴,故为等边三角形.

　　 (Ⅱ),

　　　　　 ∴当时,取得最大值,此时,,.

　18.(本小题满分12分)(文) 解：(Ⅰ)由,得或.

　　　　　　　　 当,变化时,、的变化如下表：

　　　　　　　　　 ∴,,解得,.∴.

　　 (Ⅱ)由题意,时,恒有,即恒成立.∵,当且仅当

　　　　　　 时取等号,∴,故的取值范围为.

　　 (理)解：(Ⅰ),令得或(舍去)

　　　　　　　　　　 ∴当时,单调递增；当时,单调递减.

　　　 　　　　　　　∴为函数在上的极大值.

　　　 (Ⅱ)由得,或.

　　　　　　　 设,,依题意知或

　　　　　　　 在上恒成立, ∵,

　　　　　　　 ,∴与都在上单增,要使不等式①

　　　　　　　 成立,当且仅当或,即或.

　19.(本小题满分12分)(文)解：(Ⅰ).

　　　　　 (Ⅱ)或.

　　 (理)解：(Ⅰ)取卡片次数的可能值为.∴. ,

　　　　 ,.故.

　　　　 .

　　 　(Ⅱ)设有放回抽取卡片时,取卡片次数为,则的可能值为.

　　　　　 ∵,

　　　 　　∴的分布列为：

　　　 ∴.

　20.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)延长、相交于点,连结,则二面角

　　　　　　 的大小为所求.作于点,连结,由三垂线定理知

　　　　　　 .∴为所求二面角的大小.由已知,,

　　　　　　 .由余弦定理得,.

　　　　　　 ∴,可得.

　　　　　　 在中,,则所求角为.

　　 (Ⅱ)由已知矩形的面积为,,,,

　　　　　　 ∴.取的中点,则.

　　　　　　 作交于点,可得,∴平面,.由,

　　　　　　 ,得.设所求距离为,则由得,

　　　　　　 ,∴为所求.

　21.(本小题满分12分)

　　 (文)解：(Ⅰ).∵,

　　　　　　 ∴.又,若,则,即,这与

　　　　　　　 矛盾,故.∴,,.∴.

　　　 (Ⅱ)∵,∴是首项为,公差为的等差数列,∴,

　　　　　　　 .故是首项为,公差为的等差数列.∵时,；时,；

　　　　　　 时,.故当或时,最大.

　　 (理)解：(Ⅰ)∵,∴.

　　　　　　　　　　 ∴.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,∴.

　　　　　　　 ∴.

　　 (Ⅲ)∵当时,,当且仅当时取等号.且,

　　　　　　 故,,……,. 以上个式子相加,

　　　　　　 得,∴,

　　　　　　 ∴,∴.

　　　　　　 故得证.

　22.(本小题满分14分)(文)解：(Ⅰ),,∴,.

　　　　　　　　　　 由余弦定理,,得.

　　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,,,∴时,

　　　　　　 的最小值为.当时,.可设椭圆的方程此时由得,

　　　　　　 ,∴.设,则

　　　　　　 .当时,的最大值为,

　　　　　　 ∴,故椭圆的方程.

　 (理)解：(Ⅰ),,∴,.由余弦定理,

　　　　　　　 　　　,得.

　 (Ⅱ)由(Ⅰ)知.设,知时,在

　　　　 上单调递增,∴时,,得.设,则,.不妨设

　　　　 点在第一象限.由,得,,∴.

　　　　 设是椭圆上动点,则,相减得,

　　　　 即.则时,.设切线的方程为：

　　　 　　①, 又　 ②. 将②代入①整理得,.

　　　 令得,,∴.又,故.