08年咸阳市高考数学第一次模拟考试

参考答案及评分标准

一、选择题

1．C 易知A={-1，0，1}，B={1，2}，故A∩B={1}.

2．D 分x<1与2≤x<5讨论.

3．D　 　=+λ(+)=+2λ(其中D为BC的中点),于是有=2λ,从而点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.

4．B 作出不等式表示的平面区域即可.

5．A　 先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.

6．B　 由线面位置关系不难知道:①③正确的.

7．B　 [解析]由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S₄₀₁₀=2005(a₁+a₄₀₁₀)=2005(a₂₀₀₅+a₂₀₀₆)>0,

　　　　　　　　　　　　　　　 S₄₀₁₁==4011a₂₀₀₆<0, 故n的最大值为4010.

　　　　　　　　　　 另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为S_n的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然S_n是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使S_n>0的最大自然数是4010,故选B.

　　　　　　　　　　 本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a₁>0,a_k+a_k+1>0,且a_ka_k+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..

8．B　 原函数的图象是由y=图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,+∞)上为减函数,所以其反函数的图象是由y=的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.

9．B　　 易知面BCC₁B₁内的点到点F的距离是到BC的距离倍的，由椭圆的第二定义即知.

10．D　 设 M F双曲线的交点为P，焦点F(－c,0), F₂(c,0),由平面几何知识知：F₂P⊥FM，又|F F₂|=2c　 于是 |PF₂| =2csin60°=c　　　 |PF₁| =c　　

　　　　　　 　故　 2a= |PF₂| －|PF₁| =c－c　 =( －1)c　 e= =+1.

11．C　 特值法：令a=2与可知在上恒正，显然选项D不正确.

12．B 依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支(以B为焦点)，此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 x²－＝1，点C的坐标为(3，).则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点M 、C ，根据双曲线的定义有|M M|=|MB|，所以=2a[|M M|+|MC|]≥2a|C C|=2a×(3-)=5a.当且仅当点M在线段C C上时取等号，故ω的最小值是5a.

二、填空题

13.200　　 易知A=2 ,ω= ,=±,y=2－cos(πx+)=2±sinπx,从而

f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=2×100=200.

14.　　 [解析]∵y^’=3x²－≥－,　　　 ∴tanα≥－

　　　　　　 又∵ 0≤α≤∏　　　　　　　　　 ∴0≤α<

15. 　由二项式定理知: 的展开式中的系数为 C.,的展开式中的系数为C.,于是有C.= C.,解得 =.

16.①、③　　　 可通过作差比较得到结论.

17. 283　　 [解析] 由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S₁₉=283.

18. 4012　 [解析]∵f(1+0)=f(1).f(0),2=2f(0),∴f(0)=1

　　　　　　　　　　　 ∵f(2)=f(1+1)=f(1).f(1)=2²,

　　　　　　　　　　　　　　　 f(3)=f(2+1)=f(2).f(1)=2³,

　　　　　　　　　　　　　　　 依此类推:f(2005)=2²⁰⁰⁵,f(2006)=2²⁰⁰⁶,

　　　　　　　　　　　　　 ∴原式==4012.

三、解答题

19．解：(Ⅰ)　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分

=

==　　　　　　 3分

∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1

_max=2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(Ⅱ)　 由已知,得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

又　　 ∴　 　　　　　　　　10分　

∵θ∈［π，2π］∴，∴．　　　　　　　　 12分

20．解: (Ⅰ) 比赛以甲3胜1而结束,则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局,　　　　 1分

∴所求概率为:.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分　　　　　　　

答：比赛以甲3胜1而结束的概率为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　　　　　　

(Ⅱ) 比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，　　　　　　　　 5分

∴所求概率为: 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

答：比赛以乙3胜2而结束的概率为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(Ⅲ)甲先胜3局的情况有3种:3胜无败,3胜1败,3胜2败.，则其概率分别为　　　 9分

，=，，　　　　　　　　　　　　

于是甲获胜的概率　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分

∴乙获胜的概率　　　　　 ∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

21．方法一

解: (Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,　　　　　　　　　　　　 1分

　∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　2分

∴AM∥OE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∵平面BDE， 平面BDE，　　　　　　　　　　　

　　　　　　　 ∴AM∥平面BDE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分　　

　(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，

∵AB⊥AF， AB⊥AD，

∴AB⊥平面ADF，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角。　　　　　　　　　　　 7分

在RtΔASB中，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

∴二面角A-DF-B的大小为60º.　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

(Ⅲ)设CP=t(0≤t≤2),作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，　　　　　　　　　　　　

∴PQ⊥QF.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 11分　

在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.

∵ΔPAQ为等腰直角三角形，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

又∵ΔPAF为直角三角形，

∴，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以t=1或t=3(舍去)

即点P是AC的中点.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

方法二( 仿上给分)

　 　(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系。

　 　　设，连接NE，

　　　 则点N、E的坐标分别是(、(0,0,1),

　　　 ∴NE=(,

　　　 又点A、M的坐标分别是

　 ()、(

　 ∴ AM=(

∴NE=AM且NE与AM不共线，

∴NE∥AM.

又∵平面BDE， 平面BDE，

∴AM∥平面BDF.

(Ⅱ)∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF

∴AB⊥平面ADF.

∴ 为平面DAF的法向量。

∵NE.DB=(.=0，

∴NE.NF=(.=0得

NE⊥DB，NE⊥NF，

∴NE为平面BDF的法向量。

∴cos<AB,NE>=

∴AB与NE的夹角是60º.

即所求二面角A-DF-B的大小是60º.

(Ⅲ)设P(t,t,0)(0≤t≤)得

∴DA=(0，，0，)，

又∵PF和AD所成的角是60º.

∴

解得或(舍去)，

即点P是AC的中点.

22．解:(Ⅰ)法一: ||== ,

当n= 时,　 ||_min==1,所以c=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以||的最小值为点F到直线y=x的距离,即

=1,得c=.

(Ⅱ)∵=　　(≠0),∴PE⊥直线x= ,　　　 又　 || = || (a>c>0).

　　　　　　　 ∴点P在以F为焦点,x= 为准线的椭圆上.　　　　　　　　　　　　　 5分

设P(x,y), 则有 = |－x|, 点B(0－1)代入, 解得a=.

∴曲线C的方程为 +y²=1　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分

(Ⅲ)假设存在方向向量为a₀=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k≠0),

与椭圆+y²=1联立,消去y得(1+3k²)x²+6kmx+3m²－3=0.　　　　　　　　　　　　　　 10分

由判别式△>0,可得m²<3k²+1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂), MN的中点P(x₀,y₀),由|BM|=|BN|, 则有BP⊥MN.

由韦达定理代入k_BP=－,可得到m= 　　　　　　　　　　　　　　 ②

联立①②,可得到　 k²－1<0,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

　∵k≠0,　　　　　　　　　　　 ∴ －1<k<0或0<k1.

即存在k∈(－1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且||=||. 14分

　23．解: (Ⅰ) ,若切点是,则

切线方程为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

当n=1时,切线过点(1,0),即,得

当n>1时,切线过点,即,解得.

数列是首项为，公比为的等比数列，

故所求通项　.　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ) 由(1)知

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　9分

(Ⅲ)设,则,

两式相减得，

.　　　 故.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分