参考答案

难点磁场

解：(1)令F(x)=f(x)－x，因为x₁，x₂是方程f(x)－x=0的根，所以F(x)=a(x－x₁)(x－x₂).当x∈(0，x₁)时，由于x₁＜x₂，得(x－x₁)(x－x₂)＞0，

又a＞0，得F(x)=a(x－x₁)(x－x₂)＞0，即x＜f(x)

x₁－f(x)=x₁－［x+F(x)］=x₁－x+a(x₁－x)(x－x₂)=(x₁－x)［1+a(x－x₂)］

∵0＜x＜x₁＜x₂＜，∴x₁－x＞0，1+a(x－x₂)=1+ax－ax₂＞1－ax₂＞0

∴x₁－f(x)＞0，由此得f(x)＜x₁.

(2)依题意：x₀=－，因为x₁、x₂是方程f(x)－x=0的两根，即x₁，x₂是方程ax²+(b－1)x+c=0的根.

∴x₁+x₂=－

∴x₀=－，因为ax₂＜1，

∴x₀＜

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意f(a)=g(a)＞0，f(b)=g(b)＞0，且f(a)＞f(b)，g(a)＞g(b)

∴f(b)－f(－a)=f(b)+f(a)=g(a)+g(b)

而g(a)－g(－b)=g(a)－g(b)∴g(a)+g(b)－［g(a)－g(b)］

=2g(b)＞0，∴f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)

同理可证：f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)

答案：A

二、2.解析：①②③不满足均值不等式的使用条件“正、定、等”.④式：|x－y|=|(x－2)－(y－2)|≤|(x－2)－(y－2)|≤|x－2|+|y－2|＜ε+ε=2ε.

答案：④

3.解析：由已知y₁=；y₂=0.8x(x为仓库与车站距离)费用之和y=y₁+y₂=0.8x+ ≥2=8

当且仅当0.8x=即x=5时“=”成立

答案：5公里处

三、4.证明：(1)设g(x)=f(x)－x=ax²+(b－1)x+1，且x＞0.

∵x₁＜2＜x₂＜4，∴(x₁－2)(x₂－2)＜0，即x₁x₂＜2(x₁+x₂)－4，

(2)解：由方程g(x)=ax²+(b－1)x+1=0可知x₁.x₂=＞0，所以x₁，x₂同号

1°若0＜x₁＜2，则x₂－x₁=2，∴x₂=x₁+2＞2，

∴g(2)＜0，即4a+2b－1＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

又(x₂－x₁)²=

∴2a+1=　(∵a＞0)代入①式得，

2＜3－2b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

解②得b＜

2°若 －2＜x₁＜0，则x₂=－2+x₁＜－2

∴g(－2)＜0，即4a－2b+3＜0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

又2a+1=，代入③式得

2＜2b－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

解④得b＞.

综上，当0＜x₁＜2时，b＜，当－2＜x₁＜0时，b＞.

5.解：(1)由题意知某商品定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是：p(1+)元、n(1－)元、npz元，因而

，在y=ax的条件下，z=［－a

［x－］²+100+］.由于≤a＜1，则0＜≤10.

要使售货金额最大，即使z值最大，此时x=.

(2)由z=　(10+x)(10－x)＞1，解得0＜x＜5.

6.(1)证明：令m＞0，n=0得：f(m)=f(m).f(0).∵f(m)≠0，∴f(0)=1

取m=m，n=－m，(m＜0)，得f(0)=f(m)f(－m)

∴f(m)=，∵m＜0，∴－m＞0，∴0＜f(－m)＜1，∴f(m)＞1

(2)证明：任取x₁，x₂∈R，则f(x₁)－f(x₂)=f(x₁)－f［(x₂－x₁)+x₁］

=f(x₁)－f(x₂－x₁).f(x₁)=f(x₁)［1－f(x₂－x₁)］，

∵f(x₁)＞0，1－f(x₂－x₁)＞0，∴f(x₁)＞f(x₂)，

∴函数f(x)在R上为单调减函数.

(3)由，由题意此不等式组无解，数形结合得：≥1，解得a²≤3

∴a∈［－，］

7.(1)解：设y=，则(y－2)x²－bx+y－c=0　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

∵x∈R，∴①的判别式Δ≥0，即 b²－4(y－2)(y－c)≥0，

即4y²－4(2+c)y+8c+b²≤0　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由条件知，不等式②的解集是［1，3］

∴1，3是方程4y²－4(2+c)y+8c+b²=0的两根

∴c=2，b=－2，b=2(舍)

(2)任取x₁，x₂∈［－1，1］，且x₂＞x₁，则x₂－x₁＞0，且

(x₂－x₁)(1－x₁x₂)＞0，∴f(x₂)－f(x₁)=－＞0，

∴f(x₂)＞f(x₁)，lgf(x₂)＞lgf(x₁)，即F(x₂)＞F(x₁)

∴F(x)为增函数.

即－≤u≤，根据F(x)的单调性知

F(－)≤F(u)≤F()，∴lg≤F(|t－|－|t+|)≤lg对任意实数t 成立.