题目所在试卷参考答案：

08年高考理科数学模拟考试题卷

参考答案

一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分。)

题 号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
答 案	D	B	C	A	D	C	A	B	A	D

二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分。)

11、；　　　 　　　　　12、　 ；

13、1；　　　　　 14 、720；　　　　　　　　　　 15、②④；

三、解答题：(本大题共6小题，共75分。)

16、(本小题满分12分)

解：(I) 当 x = 时，cos <a,c> = 　　　　　 ………… 1分

　= 　 ………… 2分

　= －cos x = －cos = cos 　　　　　 ………… 3分

∵　　 0≤<a,c>≤p，　　　　 ………… 4分

∴ <a,c> = 　　　 ………… 5分

(II)　 f (x) = 2a.b + 1 = 2 (－cos ² x + sin x cos x) + 1　　　　 ………… 6分

　= 2 sin x cos x－(2cos ² x－1) 　　 ………… 7分

　= sin 2x－cos 2x　 ………… 8分

　= sin (2x－)　　　 ………… 9分

∵　　 x∈[,]，∴ 2x－∈[,2p]，　　 ………… 10分

故 sin (2x－)∈[－1,] 　　　 ………… 11分

∴　　 当 2x－= ，即 x = 时，f (x)_max = 1　　　　　　 ………… 12分

17、(本小题满分12分)

解：(I) n = 1 时，2.a₁ = S₁ = 3,∴a₁ = ;　　　　　 …………2分

当 n≥2 时，2 ⁿ.a_n = S_n－S_n－1 = －6，∴ a_n = . 又　 ≠ 　　　…………4分　　　　　

∴　　 通项公式a_n = 　　　　　　　　　　　　…………6分

(II)当 n = 1 时，b₁ = 2－log ₂ 　= 3，∴ T₁ = 　= ； …………8分

　n≥2时， b_n = n.(2－log ₂) = n.(n + 1)， ∴ 　= 　…………10分

∴　　 T_n = 　+ 　+ … + 　= 　+ 　+ 　+ … + 　= －

∴　　 T_n = －　　　　　　　　　　　　　　　　…………12分

　

18、(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)∵　 B₁D⊥平面ABC，　 AC平面ABC，

∴　 B₁D⊥AC, 又AC⊥BC,　 BC∩B₁D=D．

　　　　　 　∴ AC⊥平面BB₁C₁C．　　　　 　　　　　　　　　　　　　…………………… 3分

　(Ⅱ)　∵ AC⊥平面BB₁C₁C ，要使AB₁⊥BC₁ ，由三垂线定理可知，

只须B₁C⊥BC₁，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 5 分

　　 　　　　　　∴　 平行四边形BB₁C₁C为菱形， 此时，BC=BB₁．

　　　　　　　　 又∵ B₁D⊥BC, 要使D为BC中点，只须B₁C= B₁B，即△BB₁C为正三角形，　　 ∴　 ∠B₁BC= 60°．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………………………… 7分

　∵ 　B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，

　　　　　　　 ∴ ∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角．

故当α=60°时，AB₁⊥BC₁，且使D为BC中点…………………… 8分

(Ⅲ)过C₁作C₁E⊥BC于E，则C₁E⊥平面ABC．

过E作EF⊥AB于F，C₁F，由三垂线定理，得C₁F⊥AB．

∴∠C₁FE是所求二面角C₁-AB-C的平面角．………………… 10分

设AC=BC=AA₁=a，

在Rt△CC₁E中，由∠C₁BE=α=，C₁E=a．

在Rt△BEF中，∠EBF=45°，EF=BE=a．

∴∠C₁FE=45°，故所求的二面角C₁-AB-C为45°．………… 12分

解法二：(1)同解法一 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………… 3分

(Ⅱ)要使AB₁⊥BC₁，D是BC的中点，即=0，||=||，

∴， =0，∴．

∴，故△BB₁C为正三角形，∠B₁BC=60°；

∵　 B₁D⊥平面ABC，且D落在BC上，　 　　　　　　　…………………… 7分

　　　　　　 ∴ ∠B₁BC即为侧棱与底面所成的角．

　　　　　 故当α=60°时，AB₁⊥BC₁，且D为BC中点．　　　　　 …………………8分

(Ⅲ)以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，经过C点且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(0，－，a)，

平面ABC的法向量n₁=(0，0，1)，设平面ABC₁的法向量n₂=(x，y，z)．

由n₂=0，及n₂=0，得

　　　∴n₂=(，，1)．………………10分

cos<n₁, n₂>＝= ，

故n₁ , n₂所成的角为45°，即所求的二面角为45°．……………………12分

19、(本小题满分12分)

解：(I) x 的所有可能取值为3400，2400，1400，400.………………2分

(II) P(x = 3400) = ( ) ³ = ……………………4分

　P(x = 2400) = C₃¹( ) ( ) ² = ………………6分

　P(x = 1400) = C₃²( ) ² ( ) = ………………8分

　P(x = 400) = C₃³( ) ³ = ……………………10分

　x 的分布列为

x	3400	2400	1400	400
P

……………………………………10分　　　　　　 ……12分

　20、(本小题满分13分)

解：(Ⅰ)设，由　　 ，得

由在双曲线上，有

　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　 ②…………………………………………2分

由，即，得

，　　　　　　 ③………………………………………4分

①+2×③+②，并整理，得

这表明点恒在双曲线上.……………………………6分

(Ⅱ)同(Ⅰ)所设，由，得

当点在双曲线的渐近线上，有

即，亦即

…………………10分

将①②③三式代入上式，得，从而因此，不存在不同时为零的实数，使得点在题设双曲线的渐近线上.…………………13分

21、(本小题满分14分)

解：(I) 由题意得 f (e) = pe－－2ln e = qe－－2　　 ………… 1分

　Þ (p－q) (e + ) = 0　　　　　　 ………… 2分

而 e + ≠0，∴　　　　　　 p = q ……………………………………………………3分

(II)由(I)知 f (x) = px－－2ln x

　f ' (x) = p + －= 　……………………4分

令 h(x) = px ²－2x + p，要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 h(x) 在 (0,+¥) 内满足：h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ……………………5分

① 当 p = 0时， h(x) = －2x，∵ x > 0，∴ h(x) < 0，∴ f ' (x) = －　< 0，

∴　　 f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递减，故 p = 0适合题意.　　 ………………………….6分

② 当 p > 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 x = ∈(0,+¥)，∴　　　　 h(x)_min = p－

只需 p－≥0，即 p≥1 时 h(x)≥0，f ' (x)≥0，

∴ f (x) 在 (0,+¥) 内为单调递增，

故 p≥1适合题意.　　　　　　　　　　　　　　 ……………………………………………7分

③当 p < 0时，h(x) = px ²－2x + p，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为 x = Ï (0, + ¥).

只需 h(0)≤0，即 p≤0时 h(x)≤0在 (0, + ¥)恒成立.

故 p < 0适合题意.　 ……………………8分

综上可得， p≥1或 p≤0.　　　　　 ……………………………………………9分

另解：(II)　　　　 由 (I) 知 f (x) = px－－2ln x

　f’(x) = p + －= p (1 + )－

要使 f (x) 在其定义域 (0,+¥) 内为单调函数，只需 f’(x) 在 (0,+¥) 内满足：f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立.

由 f’(x)≥0 Û p (1 + )－≥0 Û p≥　Û p≥()_max，x > 0

∵　　 ≤ = 1，且 x = 1 时等号成立，故 ()_max = 1

∴　　 p≥1

由 f’(x)≤0 Û p (1 + )－≤0 Û p≤ 　Û p≤()_min，x > 0

而 > 0 且 x → 0 时，→ 0，故 p≤0

综上可得，p≥1或 p≤0　　　　

(III) ∵　　 g(x) = 在 [1,e] 上是减函数

∴　　 x = e 时，g(x)_min = 2，x = 1 时，g(x)_max = 2e

即　　 g(x) Î [2,2e] 　　　　　　 ………… 10分

① p≤0 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 递减 Þ f (x)_max = f (1) = 0 < 2，不合题意。　 …… 11分

② 0 < p < 1 时，由x Î [1,e] Þ x－≥0

∴　　 f (x) = p (x－)－2ln x≤x－－2ln x

右边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递增

∴　　 f (x)≤x－－2ln x≤e－－2ln e = e－－2 < 2，不合题意。…… 12分

③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又g(x) 在 [1,e] 上是减函数

∴　　 本命题 Û f (x)_max > g(x)_min = 2，x Î [1,e]

　Þ f (x)_max = f (e) = p (e－)－2ln e > 2

　Þ p > (∵ >1)　　　　 ………… 13分

综上，p 的取值范围是 (,+¥)　　　　 ………… 14分