1．(人教A版第27页A组第6题)解析式、待定系数法 变式1： 解：由题意可知，解得，故选D． 变式2： 解：由题意可知，解得b=0，∴，解得c=2． 变式3：解：由题意可设所求二次函数的解析式为， 展开得， ∴， ∴，即，解得． 所以，该二次函数的图像是由的图像向上平移 单位得到的，它的解析式是，即．

2．(北师大版第52页例2)图像特征 变式1： 解：根据题意可知，∴ ，故选D． 变式2： 解：∵，∴抛物线的对称轴是， ∴　 即， ∴，∴、、， 故有，选C． 变式3： 解：观察函数图像可得： ①　　 a>0(开口方向)；② c=1(和y轴的交点)； ③ (和x轴的交点)；④()； ⑤ (判别式)；⑥ (对称轴)．

3．(人教A版第43页B组第1题)单调性 变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是， 由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧， ∴，解得，故选D． 变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得， ∴　 ，即． 变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是， ∵　 已知函数在上是单调函数，∴　 区间应在直线的左侧或右侧， 即有或，解得或．

4．(人教A版第43页B组第1题)最值 变式1： 解：作出函数的图像， 开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)， ∴m的取值范围是，故选C． 变式2： 解：函数有意义，应有，解得， ∴　 　Þ 　Þ ， ∴　 M=6，m=0，故M + m=6． 变式3： 解：函数的表达式可化为． ① 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾． ②当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又∵，∴为所求． ③当，即时，是最小值， 依题意应有，解得，又∵，∴为所求． 综上所述，或．

5．(人教A版第43页A组第6题)奇偶性 变式1： 解：函数是偶函数 Þ 　Þ ， 当时，是常数；当时，，在区间上是增函数，故选D． 变式2：解：根据题意可知应有且，即且，∴点的坐标是． 变式3： 解：(I)当时，函数，此时，为偶函数； 当时，，， ，，此时既不是奇函数，也不是偶函数． (II)(i)当时，， 若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为． 若，则函数在上的最小值为，且． (ii)当时，函数， 若，则函数在上的最小值为，且， 若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为． 综上，当时，函数的最小值为； 当时，函数的最小值为； 当时，函数的最小值为．

7．(北师大版第54页A组第6题)值域 变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，，，注意到函数定义不包含，所以函数值域是． 变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]， 则y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]， ∴y Î [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]． 变式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x) = f (1－x)， ∴ －　= 1， 又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， ∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －， ∴ f (x) = －x 2 + x． (II) ∵　　 f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1° 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数， ∴　 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n　　　 (*)， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m， 两式相减得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)， ∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2° 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数， ∴　 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n， ∴　　 m = －4，n = 0． 3° 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 Î [m,n]， ∴　 3n = f (x)max = f (1) = 　Þ n = 与 n≥1 矛盾． 综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件．

8．(北师大版第54页B组第5题)恒成立问题 变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R， ∴应有　 　Þ a > 1， ∴　 实数 a 的取值范围是(1,+¥) ． (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+¥) 的所有值． 1° 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求； 2° 当 a ≠ 0 时，应有　Þ 0 < a≤1． ∴　 实数 a 的取值范围是[0,1] ． 变式2： 解法一：(转化为最值) 在上恒成立，即在上恒成立． ⑴， ； ⑵，． 综上所述． 解法二：(运用根的分布) ⑴当，即时，应有， 即，不存在； ⑵当，即时，应有， 即，； ⑶当，即时，应有，即　， 综上所述． 变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0， ∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1， (II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c 　　　 (*) ∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0 Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，对任意 b 成立． ∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ， ∴　 c≥(2 + cos b )max = 3． (III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a－(c + 1) sin a + c， 设 t = sin a ，则g(t) = f (sin a ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = ， 由 (II) 知：t≥= 2， ∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数． ∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3 ∴ b = －c－1 = －4．

9．(北师大版第54页B组第1题)根与系数关系 变式1： 解：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函 数图象知同号，而由中一次函数图象知异号，互相矛盾，故舍去． 又由知，当时，，此时与中图形不符，当时，，与中图形相符． 变式2： 解：原命题可变为：求方程，， 中至少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，即得所求． 解不等式组得 ， 故符合条件的取值范围是或． 变式3： 解：(I) 由 f (x) 表达式得 m = －， ∵　 g(x) = f (x)－x = a x 2 + (b－1) x + 1，a > 0， 由　 x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 < 1 < x2， ∴　 g(1) < 0 Þ a + b < 0 Þ －> 1 Þ －> ，即 m > ． (II) △= (b－1) 2－4a > 0 Þ (b－1) 2 > 4a， 　　　 　　　 x1 + x2 = ，x1x2 = ， ∴　 | x1－x2 | 2 = (x1 + x2) 2－4x1x2 = () 2－= 2 2， ∴　 (b－1) 2 = 4a + 4a 2　　　 (*) 又　　 | x1－x2 | = 2， ∴ x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1， 要 g(x) = 0 有一根属于 (－2,2)， 则 g(x) 对称轴 x = Î (－3,3)， ∴ －3 < < 3 Þ a > | b－1 |， 把代入 (*) 得：(b－1) 2 > | b－1 | + (b－1) 2， 解得：b < 或 b > ， ∴ b 的取值范围是：(－¥, )∪( ,+¥)．

10．(北师大版第52页例3)应用 变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0<x<a)， 则B点的坐标为，A点的坐标为． 设矩形ABCD的周长为P， 则P=2(0<x<a)． ① 若a>2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:； ②若0 <a≤2，此时函数P=无最大值，也就是说周长最大的内接矩形不存在． 综上所述，当a>2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 <a≤2时，周长最大的内接矩形不存在． 变式2： 解：(I) 依题意设 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式分别为 　　　 　　　　 f (x) = kx，g(x) = m， 由　 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ， ∴　 f (x) = x(x≥0)，g(x) = ． (II) 设企业在 B 产品投资 x 万元，则在 A 产品投资 10－x 万元， ∴　 企业的利润 y = (10－x) + = [－(－) 2 + ](0≤x≤10)， ∴　 = ，即 x = 6.25 万元时，企业获得最大利润 ≈4 万元． 答：在 A 产品投资 3.75 万元，在 B 产品投资 6.25 万元，企业获得最大利润约 4 万元． 变式3： 解：设，要使有意义，必须且，即， ∵，且……①　　 ∴的取值范围是． 由①得：， 不妨设，． (I)由题意知即为函数，的最大值， 当时，，，有=2； 当时，此时直线是抛物线的对称轴， ∴可分以下几种情况进行讨论： (1)当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段， 由知在上单调递增，故； (2)当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段， 若即时，， 若即时，， 若即时，． 综上所述，有=． (II)若a>0，则>0，此时g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=－1)； 若－<a<0，则<－2，此时g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=－2+<－(舍去)； 若－<a≤－，则－2≤<－， 此时g(a)=g( ) Û －a－= Þ a=－ (舍去)； 若－≤a≤－，则－≤≤－， 此时g(a)=g( ) Û =恒成立； 若－2≤a<－，则－<≤－， 此时g(a)=g( ) Û =－a－Þ a=－ (舍去)； 若a<－2，则－<<0， 此时g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=－2+>－2 (舍去) ． 综上所述，满足的所有实数a为：或．