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4．(人教A版选修1－1，2－1第47页习题2.1B组第3题)
如图，矩形ABCD中，
，
，E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，
，
，
是线段CF的四等分点．请证明直线ER与
、ES与
、ET与
的交点L，M，N在同一个椭圆上．
变式1：直线
与双曲线
的右支交于不同的两点A、B.若双曲线C的右焦点F在以AB为直径的圆上时，则实数
．
解：将直线代入双曲线C的方程
整理，得
……①
依题意，直线L与双曲线C的右支交于不同两点，故
解得
．
设A、B两点的坐标分别为
、
，则由①式得
……②
∵双曲线C的右焦点F 
在以AB为直径的圆上，则由FA⊥FB得：
整理，得
……③
把②式及
代入③式化简，得
解得
，故
．
变式2(2002年广东卷)：A、B是双曲线
上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．
(Ⅰ)求直线AB的方程；
(Ⅱ)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆？为什么？
解：(Ⅰ)直线AB的方程为
．(求解过程略)
(Ⅱ)联立方程组
得
、
．
由CD垂直平分AB，得CD方程为
．
代入双曲线方程整理，得
．
记
，
以及CD的中点为
，
则有
从而
．
∵
．
∴
．
又
．
即A、B、C、D四点到点M的距离相等．
故A、B、C、D四点共圆．
变式3(2005年湖北卷)：设A、B是椭圆
上的两点，点N(1，3)是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点.
(Ⅰ)确定
的取值范围，并求直线AB的方程；
(Ⅱ)试判断是否存在这样的，使得A、B、C、D四点在同一个圆上？并说明理由.
(Ⅰ)解法1：依题意，可设直线AB的方程为
整理，得
①
设
①的两个不同的根，
②
是线段AB的中点，得
解得
＝－1，代入②得，＞12，即的取值范围是(12，+
).
于是，直线AB的方程为
解法2：设
依题意，
(Ⅱ)解法1：
代入椭圆方程，整理得
③
③的两根，
于是由弦长公式可得
④
将直线AB的方程
⑤
同理可得
⑥
假设在在＞12，使得A、B、C、D四点共圆，则CD必为圆的直径，点M为圆心.点M到直线AB的距离为
⑦
于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当
时，A、B、C、D四点均在以M为圆心，
为半径的圆上.
(注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A、B、C、D共圆
△ACD为直角三角形，A为直角
⑧
由⑥式知，⑧式左边＝
由④和⑦知，⑧式右边＝
∴⑧式成立，即A、B、C、D四点共圆
解法2：由(Ⅱ)解法1及.
代入椭圆方程，整理得
③
解得
.
将直线AB的方程
代入椭圆方程，整理得
⑤ 解得
.
不妨设
∴
计算可得
，∴A在以CD为直径的圆上.
又点A与B关于CD对称，∴A、B、C、D四点共圆.
(注：也可用勾股定理证明AC⊥AD)