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参考答案

难点磁场

解：由l过原点，知k=(x₀≠0),点(x₀,y₀)在曲线C上，y₀=x₀³－3x₀²+2x₀,

∴=x₀²－3x₀+2

y′=3x²－6x+2,k=3x₀²－6x₀+2

又k=,∴3x₀²－6x₀+2=x₀²－3x₀+2

2x₀²－3x₀=0,∴x₀=0或x₀=

由x≠0,知x₀=

∴y₀=()³－3()²+2.=－

∴k==－

∴l方程y=－x 切点(，－)

歼灭难点训练

一、1.解析：y′=e^sinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e⁰(1－0)=1

答案：B

2.解析：设切点为(x₀,y₀),则切线的斜率为k=,另一方面，y′=()′=,故

y′(x₀)=k,即或x₀²+18x₀+45=0得x₀⁽¹⁾=－3,y₀⁽²⁾=－15,对应有y₀⁽¹⁾=3,y₀⁽²⁾=,因此得两个切点A(－3，3)或B(－15,),从而得y′(A)=　=－1及y′(B)= 　,由于切线过原点，故得切线：l_A:y=－x或l_B:y=－.

答案：A

二、3.解析：根据导数的定义：f′(x₀)=(这时)

答案：－1

4.解析：设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0.g′(0)=g(0)=1.2.…n=n！

答案：n!

三、5.解：设l与C₁相切于点P(x₁,x₁²),与C₂相切于Q(x₂,－(x₂－2)²)

对于C₁：y′=2x,则与C₁相切于点P的切线方程为

y－x₁²=2x₁(x－x₁),即y=2x₁x－x₁² ①

对于C₂：y′=－2(x－2),与C₂相切于点Q的切线方程为y+(x₂－2)²=－2(x₂－2)(x－x₂),即y=－2(x₂－2)x+x₂²－4　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

∵两切线重合，∴2x₁=－2(x₂－2)且－x₁²=x₂²－4,解得x₁=0,x₂=2或x₁=2,x₂=0

∴直线l方程为y=0或y=4x－4

6.解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得

lny=ln(x²－2x+3)+lne^2x=ln(x²－2x+3)+2x

　(2)两端取对数，得

ln|y|=(ln|x|－ln|1－x|),

两边解x求导，得

7.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开1.4 m时，t₀=,又s′=－　(25－9t²).(－9.2t)=9t,所以s′(t₀)=9×=0.875(m/s)

8.解：(1)当x=1时，S_n=1²+2²+3²+…+n²=n(n+1)(2n+1),当x≠1时，1+2x+3x²+…+nx^n-1=,两边同乘以x,得

x+2x²+3x²+…+nxⁿ=两边对x求导，得

S_n=1²+2²x²+3²x²+…+n²x^n-1

=