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解题必须有思想的指导,也就是说,数学解题的基本方法是具有思想性的. 数学的思想是数学基本方法的灵魂.
在数学复习中，有意识地揭示这些数学基本方法中所隐含的数学思想, 在数学学习活动中形成一些数学的观点；在数学知识结构的形成、完善过程中，有意识地用数学的观点去观察、分析数学问题，不断地获取、积累、深化这些数学的观点，使这些数学的观点能够在数学思维中升华为数学意识,从而就能从根本上提高思维能力, 提升思维层次,提高数学能力,这是数学学习的有效方法之一,也是数学学习的目的.
例1．已知 
, 
,求 
的值.
分析(1) 
,
,在公式
中是联系在一起的,由此,我们可以下面的解法.
解法(1) ∵ ,
∴ =
=
=8.
分析(2) 显然由和要分别解出
的值是不可能的,但是,我们可以利用和消去中的变元,从而得的值,也就是说,消元就是解这个问题的指导思想,而且, 消元在代数式的求值中具有一般的指导意义.
解法(2) ∵ , ,
∴ 
, 
,
∴ =
=
=
=8.
例2. 设
，求证：
.
证明方法(一):
=
=
(1)
>
故成立.
证明方法(二)
==
∴ 
=
=
故成立.
问题: ①表达式(1)是如何冒出来的? ②证明方法(一)与证明方法(二)有什么关系?
例3．化简：
.
分析: 这是一个极容易的化简题, 学生很可能盲目地获得结果.我们要问: 解本题的指导思
想是什么?
先看下面两个解法:
解法(一): 原式=
=
=
=
=1
解法(二): 原式=
=
=1
说明: 证明方法(一)中将被化简式的表达形式与公式挂钩不容易, 因此，这一种方法的
技巧性较强.证明方法(二)的指导思想是:“消元”. 我们又要问:消元的方法是什么? 回答是: ① 减少三角函数名称,② 减少角的表达形式.
由证明方法(二)的指导思想还可以获得以下证明方法:
解法(三) 原式消元成只含
的表达式而被化简.
原式=
=
=1
解法(四) 原式消元成只含
的表达式而被化简.
原式=
=
=1
例4．已知圆
，直线
过定点A (1，0)．
(1)若与圆相切，求的方程；
(2)若与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又与
的交点为N，判断
是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由.
(1) 解：①若直线的斜率不存在，即直线是
，符合题意．
②若直线斜率存在，设直线为
，即
．
由题意知，圆心(3，4)到已知直线的距离等于半径2，即： 
，
解之得 
.
所求直线方程是，
。
(2) 解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为
由
得
．
又直线CM与垂直，由
得
．
∴ 
为定值.
故是定值，且为6.
解法二：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0,可设直线方程为.
由 得．
再由
得
．
∴ 
得．
以下同解法一．
解法三：用几何法，
如图所示，△AMC∽△ABN，则
，可得
，是定值．
说明: 显然, 由于应用了平面几何知识, 解法(三)比解法(一)、解法(二)简洁.
例5． 双曲线
的离心率为
，A、F分别是双曲线的左顶点、右焦点，过点F的直线
交双曲线的右支于P、Q两点，交y轴于R点，AP、AQ分别交右准线于M、N两点.
(1) 若
，求直线的斜率；
(2) 证明：M、N两点的纵坐标之积为
.
解: (1)解：设
，
∵ 双曲线的离心率为，
∴ 
，双曲线方程为
，
∵ 
， ∴
，
∵ 直线为
, ∴ 
，
∵ 点Q是双曲线上一点， ∴ 
，整理得，
解得
.
(2)证明：设
由题设可知:直线
的方程为
,直线
的方程为
.
∴ 
，
∴ 
，
由
得
∴ 
，
，
∴ 
.(k不存在要作特殊处理)
例6． (扬州市2008届高三第二次调研测试)
已知圆C：
，直线
，且直线与圆C交于
，点
满足
.
(1) 当
时,求
的值;
(2) 若
,求
的取值范围.
解：(1)当时,点在圆上，故当且仅当直线过圆心
时满足，
∵ 圆心的坐标为(1，1)，
∴ 
.
设,
由
消去
可得,
,
, 
,
∵ , ∴ 
,
∴ 
, 
,
即 
,
∴ 
,
方法(1) 对进行整理
,
方法(2) 对进行整理,
令
, 则函数
的图象与轴在
上有公共点,若,则
,故不可取.
故
∴ 
或
或
或
或
显然, 方法(1)和(2)不易求解.
方法(3) 由
得,
① 令
(
)
∴ 
, 
, 
,
, 
∴ 2<
,
解得,
或
② 令 
,则
∴ 在上为单调减函数,
∴ 
∵ =
∴ 2
,
2
,
解得,或
例7．苏、锡、常、镇四市2007年第二次模拟考试题(题20)
已知点
都在椭圆
(
)上，
分别过两个焦点
，当
时，有
成立.
(1)求此椭圆的离心率;
(2)设
,
,当点A在椭圆上运动时,
求证: 
始终是定植.
分析: 本题是一个求值的问题. 在高中数学中, 求值的一般方法是:一是给出未知量的方程,解这个方程得值,题(1)可用这一思想;二是给出未知量的函数表达式,对表达式消元得值,题(2)可用这一思想.题(2)给出未知量的函数表达式的方法有两种:
(1) 解: 当
时，
，
∴ 
, 
,
∴ 
.
由椭圆的定义,得
, ∴ 
, 
在直角三角形
中,
∵ 
,
∴ 
∴
.
(2) 解：由
可知,
, 故椭圆的方程可化为
,焦点为
.
设
,
,
.
方法① 
.当直线
的斜率存在时,
方法(1)直线的方程为
,代入椭圆方程,得
,
∴ 
, 
,
∵ , ∴ 
, 
,
同理可得, 
,
∴ 
+
,
∴ 
.
方法(2)直线的方程为,代入椭圆方程,得
-
,
.
∵ ,
∴ 
, 
,
,
∴ 
,
同理可得, ,
∴ +=
.
.当直线的斜率不存在时,
,
.
综上所述, 是定值.
方法② ∵ ,, ∴ 
,
,
∴ 
∴ 两式相减可得, 
,
(∵
, 
.
同理可得, 
, ∴
.
.当直线的斜率不存在时,, .
综上所述, 是定值.
例8．(宿迁市2007届高三年级第四次考试)21题
由原点O向曲线
引切线，切点
异于点O，再由点引此曲线的切线，切点
异于点，如此继续下去，得到点列
.
(1) 求
;
(2) 求证数列
为等比数列.
(1) ∵, ∴ 
∴ 过原点O, 切点为的切线方程为
,
∴ 
消去
得, 
∵ 
∴ 
.
(2) 证明: 设过点
的直线与曲线切于点
,
则切线方程为
∴ 
∵ 
,
∴ 
∴ 
, 
∵, ∴ 
,
∴数列是以
为首项,
为公比的等比数列.