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考点一:等差、等比数列的概念与性质
例题1. (山东省滨州市2007年高三第三次复习质量检测)已知等比数列分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)设,求数列
解析:(I)依题意
(II)
点评:本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和,本题还考查了转化的思想。
例题2. (2007年湖南省长郡中学第二次月考)设数列的前n项和为Sn,若是首项为1,各项均为正数且公比为q的等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)试比较的大小,并证明你的结论.
解析:(Ⅰ)∵是各项均为正数的等比数列.
∴. 当n=1时,a1=1, 当
∴。
(Ⅱ)当n=1时,
∴
∴当
∵
①当q=1时,
②当
③当
综上可知: 当n=1时,
当
若
若
点评:本题考查了等比数列的基本知识,还要注意分类讨论。
考点二:求数列的通项与求和
例题3. (2007年5月湖北省十一校).已知数列中各项为:
|
|
(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.
(2)求这个数列前n项之和Sn .
解析:先要通过观察,找出所给的一列数的特征,求出数列的通项,进一步再求和。
答案:(1)
|
= A (A+1) , 得证
(2)
点评:本题难点在于求出数列的通项,再将这个通项“分成” 两个相邻正数的积,解决此题需要一定的观察能力和逻辑推理能力。
例题4. (云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测) 已知是数列{}的前n项和,并且=1,对任意正整数n,;设).
(I)证明数列是等比数列,并求的通项公式;
(II)设的前n项和,求.
解析:(I)
两式相减:
是以2为公比的等比数列,
(II)
而
点评:本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列的通项,第二问求和用到裂项的办法求和。
考点三:数列与不等式的联系
例题5.(2007年5月莆田四中)已知为锐角,且,
函数,数列{an}的首项.
⑴ 求函数的表达式;
⑵ 求证:;
⑶ 求证:
解析:本题是借助函数给出递推关系,第(2)问的不等式利用了函数的性质,第(3)问是转化成可以裂项的形式,这是证明数列中的不等式的另一种出路。
答案:解:⑴ 又∵为锐角
∴ ∴
⑵ ∵ ∴都大于0
∴ ∴
⑶
∴
∴
∵, , 又∵
∴ ∴
∴
点评:把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想,本题中的第(3)问不等式所给的式子更具有一般性。
例题6.(东城区2007年检测)已知数列满足且
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)若,试比较的大小,并说明理由.
解析:(I)
当时上式也成立,
(Ⅱ)
①
②
①-②,得
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得又
当
当
当
综上所述,当
点评:比较大小的常见的办法是做差,但关键在于和零比较,要注意在不同的条件下有不同的结果,也就是要根据分类讨论。
例题7.(2007年5月2007浙江省五校) 已知函数,数列满足,
; 数列满足, .求证:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)若则当n≥2时,.
解析:第(1)问是和自然数有关的命题,可考虑用数学归纳法证明;第(2)问可利用函数的单调性;第(3)问进行放缩。
答案:解: (Ⅰ)先用数学归纳法证明,.
(1)当n=1时,由已知得结论成立;
(2)假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,
因为0<x<1时,,所以f(x)在(0,1)上是增函数.
又f(x)在上连续,所以f(0)<f()<f(1),即0<.
故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.
又由, 得,从而.
综上可知
(Ⅱ)构造函数g(x)=-f(x)= , 0<x<1,
由,知g(x)在(0,1)上增函数.
又g(x)在上连续,所以g(x)>g(0)=0.
因为,所以,即>0,从而
(Ⅲ) 因为 ,所以, ,
所以 ----① ,
由(Ⅱ)知:, 所以= ,
因为, n≥2,
所以 <<=----② .
由①② 两式可知: .
点评:本题是数列、超越函数、导数的学归纳法的知识交汇题,属于难题,复习时应引起注意。
考点四:数列与函数、向量、概率等的联系
例题8.(四川省南充高级中学2008届十月份月考)无穷数列的前n项和,并且≠.
(1)求p的值;
(2)求的通项公式;
(3)作函数,如果,证明:.
解析:(1)∵ ∴ ,且p=1,或.
若是,且p=1,则由.
∴ ,矛盾.故不可能是:,且p=1.由,得.
又,∴ .
(2)∵ ,, ∴ .
.
当k≥2时,.
∴ n≥3时有.
∴ 对一切有:.
(3)∵ , ∴ . .
故. ∴ .
又.
∴ .
故 .
点评:本题是函数、不等式的综合题,是高考的难点热点。
例题9.(重庆市渝西中学2008届高中三年级第一次模拟考试)已知定义域为R的二次函数的最小值为0且有,直线被的图象截得的弦长为,数列满足,
(1)求函数的表达式;
(2)求证;
(3)设,求数列的最值及相应的。
解析:第(2)问实际上是求数列的通项;第(2)问利用二次函数中求最值的方式来解决。
答案:解:(1)设,则两图象交点为
∵ ∴
(2) ∵
∴
∵ ∴,故 ∴,
数列是首项为1,公差为的等差数列
∴,
(3)
令,
则 ∵
∴的值分别为
经比较距最近
当时,有最小值是,当时,有最小值是。
点评:本题二次函数、不等式知识的交汇题,要解决好这类题是要有一定的数学素养的。
例题10.(云南省2007年第一次高中毕业生复习统一检测)某人抛掷一枚硬币,出现正面、反面的概率均为,使得
(I)求S4=2的概率;
(II)若前两次均出现正面,求的概率.
解析:解:(I)若S4=2,则需4次中有3次正面1次反面,设概率为P1,则
所以,S4=2的概率为.
(II)且前两次出现正面,则后4次中有2次正面2次反面或3次正面1次反面,设其概率为P2,则
∴若前两次均出现正面,则的概率为.
点评:本题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,要解决好此题要需要冷静,问题本身并不难。
创新试题答案
1.解:(1)
(2)的对称轴垂直于轴,且顶点为.设的方程为:
把代入上式,得,的方程为:。
,
=
2.解 (1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)-(2t+3)=3t ∴a2=
又3tSn-(2t+3)Sn-1=3t, ①
3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t ②
①-②得3tan-(2t+3)an-1=0 ∴,n=2,3,4…,
所以{an}是一个首项为1公比为的等比数列;
(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn-1
可见{bn}是一个首项为1,公差为的等差数列 于是bn=1+(n-1)=;
(3)由bn=,可知{b2n-1}和{b2n}是首项分别为1和,公差均为的等差数列,
于是b2n=,
∴b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1
=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)+…+b2n(b2n-1-b2n+1)
=- (b2+b4+…+b2n)=-.n(+)=- (2n2+3n)
四、复习建议
1.“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要,但用“基本量法”并树立“目标意识”,“需要什么,就求什么”,既要充分合理地运用条件,又要时刻注意题的目标,往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果
2.归纳--猜想--证明体现由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证思想.学习这部分知识,对培养学生的逻辑思维能力,计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高分析、综合、抽象、概括等思维能力,都有重大意义.
3.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法,一般递推法,数列求和及求通项等方法来分析、解决问题.
4.数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分,先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式,然后再利用数列知识和方法求解.