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    广东新课标2007年高考数学解答题专项训练

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    1．甲、乙两人进行乒乓球决赛, 采取五局三胜制, 即如果甲或乙无论谁胜了三局, 比赛宣告结束, 胜三局者为冠军. 假定每局甲获胜的概率是, 乙获胜的概率是, 试求：

    （1）比赛以甲3胜1败获冠军的概率;    

    （2）比赛以乙3胜2败获冠军的概率.

    2．二次函数f（x）满足且f（0）=1.

    （1）求f（x）的解析式;

    （2）在区间上,y= f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方,试确定实数m的范围.

    3．已知直三棱柱ABC―A1B1C1中，ACB=AA1=2，D是AB的中点。

    （1）求证：CD平面ABB1A1；

    （2）求二面角D―A1C―A的大小；

    （3）求点C1到平面A1CD的距离。

    4．已知数列为等比数列,且各项为正数,公比不等于1, 另一数列满足:

    （1）求证: 数列为等差数列,并求数列的通项公式;

    （2）是否存在最小的正整数N, 使得时, 恒有? 若存在求出相应的N; 若不存在, 请说明理由.

    5．已知三点,其中a为大于零的常数, t为参数, 平面内动点M满足: , 且

    （1）求动点M的轨迹方程;

    （2）若动点M的轨迹在x轴上方的部分与圆心在C,半经为4的圆相交两点S、T,求证: C落在以S、T为焦点过F的椭圆上.

    6．已知函数

           （1）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；

    （2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域

    .7．已知函数f (x) 和g (x)的图象关于原点对称，且f (x) =x+2x.

    （1）求函数g (x) 的解析式

    （2）解不等式g (x) ≥ f (x) -?x-1?

    （3）若h(x)=g (x) -f (x)+1在〔-1，1〕上是增函数，求实数 的取值范围。

    8．直三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D是BC的中点，F是C1C上一点，且CF=2a.

    （1）求证：B1F⊥平面ADF；

    （2）求平面ADF与平面AA1B1B所成角的正弦值.

    9．已知椭圆的一条准线方程是其左、右顶点分别是A、B；双曲线的一条渐近线方程为3x－5y=0.

    （1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；

    （2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连结AP交椭圆C1于点M，连结PB并延长交椭圆C1于点N，若. 求证：

    10．已知定义在R上的单调函数，当<0时，>1，且对任意的实数，∈R，有=,

    （1）求,并写出适合条件的函数的一个解析式；

    （2）数列满足，

    ①求通项公式的表达式；

    ②令试比较的大小，并加以证明；

    ③当a>1时，不等式对于不小2的正整数恒成立，求的取值范围。

    11．已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.

    12．已知函数（a，b为常数）且方程f(x)－x+12=0有两个实根为x1=3, x2=4.（1）求函数f(x)的解析式；

    （2）设k>1，解关于x的不等式；.

    13．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.

    （1）求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;

    （2）求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;

    （3）假设某人连续2次未击中目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?

    14．如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．

    （1）当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；

    （2）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

    15．已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线。

    （1）求椭圆的离心率；

    （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值。

    16．设函数，的图像的一条对称轴是直线。

    （1）求；

    （2）求函数的单调增区间；

    （3）写出函数的图像怎样由函数的图像变换而得到。

    17．甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6。本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束。设各局比赛相互间没有影响，求：

    （1）前三局比赛甲队领先的概率；

    （2）本场比赛乙队以3：2取胜的概率。（精确到0.001）

    18．已知数列的首项前项和为，且

    （1）证明数列是等比数列；

    （2）令，求函数在点处的导数;

    并比较与的大小.

    19．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点。

    （1）证明：面PAD⊥面PCD；

    （2）求AC与PB所成的角；

    （3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

    20．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为。

    （1）求双曲线C的方程；

    （2）若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围。

    21．射击运动员在双项飞碟比赛中，每轮比赛连续发射两枪，种两个飞靶得2分，种一个飞靶得1分，不种飞靶得0分，某射击运动员在每轮比赛连续发射两枪时，第一枪命中率为，第二枪命中率为， 该运动员如进行2轮比赛，求：

    （1）该运动员得4分的概率为多少？

    （2）该运动员得几分的概率为最大？并说明你的理由。

    22．如图，P为双曲线（a,b为正常数）上任一点，过P点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、B两点．若 =-2，

    （1）求证：A、B两点的横坐标之积为常数；

    （2）求△AOB的面积（其中O为原点）。

    a11    a12   a13  … a1n

    a21      a22   a23 … a2n

    …    …   …  … …

    a n1    a n2   a n3  … a n n

    （1）求公比q的值 ；

    （2）求的值 ；

    （3）记第k行各项和为,求A1、A2 及的通项公式.

    24．设函数的最小值大于3，求实数的取值范围.

    25．设函数，已知不论为何实数，恒有，f(2-cos)≥0，对于正数数列，其前项和，（），

    （1）求的值；  

    （2）求数列的通项公式；

    （3）问是否存在等比数列，使得对于一切正整数都成立？证明你的结论

     

     

     

     

     

    1．解:（1）以甲3胜1败而结束比赛, 甲只能在1、2、3次中失败1次, 因此所求概率为:

    （2）乙3胜2败的场合, 因而所求概率为 

    2．解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1， 故f（x）=ax2+bx+1.                                

    ∵f(x+1)-f(x)=2x,∴a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x.

    即2ax+a+b=2x,所以,∴f(x)=x2-x+1.

    （2）由题意得x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立.即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立。

    设g(x)= x2-3x+1-m,其图象的对称轴为直线x=,所以g(x) 在[-1,1]上递减.

    故只需g(1)>0,即12-3×1+1-m>0,解得m<-1.       

    3．解：（1）因为AC=CB，所以，CDAB，

    又因为ABC―A1B1C1是直三棱柱，所以CDAA1,

    故：CD平面ABB1A1

    （2）取AC中点E，则DEAC，得：DE平面ACC1A1，

    作DH垂直A1C于H，

    则DHE就是二面角D―A1C―A的平面角。

    在中，DE=0.5AC=1。

    EH=

    由

    4。解：（1） ,

    为等差数列, 且 又 

    , .

           （2）, ,

    ① 时, 由

    , 此时当时存在

    ② 时, 由

    *不存在最小的正整数N, 使时.综上所述, 当时, 存在最小的正整数N, 使时。

    5．解:（1）设M, , ,

     A、P点的横坐标相同, x轴  ∥x轴.  

    M到x与M到F的距离相等, M的轨迹为抛物线.

    则 

    （2）设圆方程,

    . 过S、T分别作准线x的垂线d1、d2.*S、T在抛物线上, 

    (定值)

    又,

    在椭圆上.

    6．解：（1）

    由=0即

    即对称中心的横坐标为

    （2）由已知b2=ac

      即的值域为综上所述， 值域为 

    7．解：（1）设函数y= f (x)的图像上任一点Q(x ，y )关于原点的对称点为P（x, y）则          即     x=-x

         即     y=-y

    ∵点Q（x,y）在函数y= f (x)的图像上，

    ∴-y = x-2 x,即y = - x+ 2 x , 故g (x) = - x+ 2 x.

    （2）由g (x) ≥ f (x)－?x -1?可得 , 2 x- ?x - 1?≤0

    当x ≥1时, 2 x- x + 1 ≤0,  此时不等式无解.

    当x ＜1时, 2 x+ x ? 1 ≤0 , ∴ - 1 ≤ x ≤

    因此, 原不等式的解集为［ -1,  ］。

    （3） h(x) =-( 1+λ)x+ 2(1-λ) x + 1

    ①当λ=-1时, h(x) = 4x+1在［-1,1］上是增函数, ∴λ = - 1

    ②当λ≠-1时 ,对称轴的方程为 x = .

    (i)当λ＜- 1时,  ≤- 1,  解得λ＜ - 1

    (ii)当λ＞- 1时,  ≥ 1,  解得 - 1＜λ≤ 0.

    综上,    λ ≤ 0.

    8．解：（1）因为AB=AC,D是BC的中点，所以AD⊥BC.

    又平面CC1B1B⊥ABC ，

    则AD⊥平面CC1B1B. B1F 在平面CC1B1B内， AD⊥B1F. 

    在矩形CC1B1B中，tan∠C1B1F=tan∠CFD=，

    所以∠C1B1F=∠CFD ，∠C1FB1+∠CFD=∠C1FB1+∠C1B1F=900,

    因此FD⊥B1F ,即证B1F⊥平面ADF；

    （2）延长FD，B1B交于G，则AG为所求二面角的棱.由RtΔFCD≌RtΔGBD,

    所以CF=GB=2a.过B1作B1H⊥AG,且B1H与AG交于H.又 B1F⊥平面ADF，FH⊥AG, ∠B1HF为所求二面角的平面角.

    由RtΔABG∽RtΔB1HG ,解得B1H =.而B1F==，sin∠B1HF=，

    即所求二面角的正弦值是. 

    9．解：（1）由已知解之得：

    ∴椭圆的方程为，双曲线的方程.

    又  ∴双曲线的离心率

    （2）由（Ⅰ）A（－5，0），B（5，0）  设M得m为AP的中点

    ∴P点坐标为   将m、p坐标代入c1、c2方程得

    消去y0得   解之得由此可得P（10，

    当P为（10， 时，PB：  即

    代入由此可得P（10，

    当P为（10， 时   PB：  即

    代入

       MN⊥x轴     即

    10．解：（1）令y=0得f(x)[1-f(0)]=0，则f(0)=1，适合题意的f(x)的一个解析式是f(x)=

    （2）①由递推关系知

    从而     

    ②的大小，只需比较的大小，容易知道

    （3） 由题意有 <0,又a>1知x>1.     

    11．解法1：依定义则

    若在（－1，1）上是增函数，则在（－1，1）上可设

    在区间（－1，1）上恒成立，考虑函数

    由于的图像是对称轴为开口向上的抛物线，

    故要使在区间（－1，1）上恒成立

    .

    解法2：依定义

    的图象是开口向下的抛物线，

    12．解：（1）将得

    （2）不等式即为

    即

    ①当

    ②当

    ③.

    13．解:（1）设“甲射击4次，至少1次未击中目标”为事件A，则其对立事件为“4次均击中目标”，则

    （2）设“甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次”为事件B,则

    （3）设“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件C,由于乙恰好射击5次后被中止射击,故必然是最后两次未击中目标，第三次击中目标，第一次及第二次至多有一次未击中目标。

    故

    14．解:（1）arcsin

           （2）k=1

    15．解：（1）设椭圆方程为

    则直线AB的方程为，代入，

    化简得.

    令A（），B），则

    由与共线，

    得又，

    即，所以，

    故离心率

    （2）证明：由（1）知，所以椭圆可化为

    设，由已知得

     在椭圆上，

    即①

    由（1）知

    又，代入①得

    故为定值，定值为1.

    16．解:（1）

    （2）

    （3）略

    17．解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6=0.4

    （1）记“甲队胜三局”为事件A，“甲队胜二局”为事件B，则

    ∴前三局比赛甲队领先的概率为P(A)+P(B)=0.648

    （2）若本场比赛乙队3：2取胜，则前四局双方应以2：2战平，且第五局乙队胜。所以，所求事件的概率为

    18．解：（1）由已知可得,

    两式相减得

    即  从而

    当时所以

    又所以从而  

    故总有，

    又从而 

    即数列是首项为6，公比为2的等比数列；

    （2）由（I）知  因为

    所以

    从而

    =  =

    －=

    由上

    －=

    =12①

    当时，①式=0所以；<

    当时，①式=-12所以=

    当时，n-1>0

    又

    所以即①从而

    19．解:方法一（1）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD.

           因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，

           ∴CD⊥面PAD.

           又CD面PCD，

           ∴面PAD⊥面PCD.

           （2）解：过点B作BE//CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角.

           连结AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，

           所以四边形ACBE为正方形. 

           由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°

           在Rt△PEB中BE=，PB=，    

          

          

           （3）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN.

           在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC,

           ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角.

           ∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，

           在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM.

           在等腰三角形AMC中，AN?MC=，

           .    ∴AB=2，

          

           故所求的二面角为

    方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.

           （1）证明：因

           由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD.

    又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD.

           （2）解：因

          

           所以

           （3）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使

           要使

          

          

           为所求二面角的平面角.

    20．解：（1）设双曲线方程为 

    由已知得故双曲线C的方程为

    （2）将

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