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山东省临沂市2009年高三教学质量检查考试
数学（理工类）
2009.3
本试卷分为选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分。考试时间120分钟
注意事项：
1、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如果需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
2、 非选择题必须用
第I卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、 已知全集U=R，集合A=
，B=
，那么集合
A、
B、
C、
D、
2、已知复数z=1+i,则
＝
A.2i B.－2i C. 2 D. －2
3、
＝2,则实数a等于
A、－1 B、 
D、
4、一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的概率为
A、
B、
C、
D、
5、已知函数f(x)=
，若x0是方程f(x)=0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值为
A．恒为正值 B.等于
6、一个几何体的三视图及长度数据如图，
则该几何体的表面积与体积分别为
A、
B、
C、
D、
7、某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是
A、120 B、
8、在等差数列｛an｝中，若a2+a4+a6+a8+a10=80，则
的值为
A、4 B、
9、若实数x，y满足
，则
的取值范围是
A、（－1，1） B、（－∞，－1）∪(1,＋∞) C、（－∞，－1） D［1,＋∞)
10、使奇函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)在[
,0]上为减函数的θ值为
A、 
B、
C、 
D、
11、P为双曲线
的右支上一点，M、N分别是圆(x+5)2+y2=4和(x―5)2+y2=1上的点，则|PM|―|PN|的最大值为
A、
6 B、
12、设f(x)是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f(2x)=f(
)的所有x之和为
A、
B、 
C、－8 D、8
第II卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题纸给定的横线上。
13、若f(x)=(1+2x)m+(1+3x)n (m,n为正整数)的展开式中x的系数为13，则x2的系数是 。
甲
67
70
73
69
71
乙
69
71
71
69
70
丙
68
72
71
70
69
14、甲、乙、丙三位棉农，统计连续五年的单位面积产量（千克/亩）如下表：
则产量较稳定的是棉农 。
15、如图所示的流程图，输出的结果S是 。
16、给出下列四个命题：
①“x(x－3)<0成立”是“|x－1|<2成立”的必要不充分条件;
②抛物线x=ay2(a≠0)的焦点为(0,
);
③函数f(x)=ax2-lnx的图象在x=1处的切线平行于y=x，则
(
,+∞)是f(x)的单调递增区间;
④
（a>0），则
＝3。
其中正确命题的序号是 （请将你认为是真命题的序号都填上）。
三、 解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
已知向量m＝（
，1），n＝(
，
)。
（I）
若m•n=1,求
的值;
（II） 记f(x)=m•n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
（
18、（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击训练，命中率分别为
与P，且乙射击2次均未命中的概率为
，
（I）求乙射击的命中率;
（II）若甲射击2次，乙射击1次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
19、（本小题满分12分）
已知单调递增的等比数列｛an｝满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项。
（I） 求数列｛an｝的通项公式;
（II）
若bn=
,sn=b1+b2+┉+bn,求sn+n•
>50成立的正整数 n的最小值。
20、（本小题满分12分）
如图，在直棱柱ABC-A1B
AA1,∠ACB＝90º，G为BB1的中点。
（I） 求证：平面A1CG⊥平面A1GC1;
（II） 求平面ABC与平面A1GC所成锐二面角的平面角的余弦值。
21、（本小题满分12分）
已知点M在椭圆
（a>b>0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F。
（I） 若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程;
（II） 若点F（1,0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时恒有|OC|2+|OD|2<|CD|2，求a的取值范围。
22、（本小题满分14分）
设函数f(x)=x2-mlnx,h(x)=x2-x+a.
（I） 当a=0时，f(x)≥h(x)在（1,+∞）上恒成立，求实数m的取值范围;
（II） 当m=2时，若函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围;
（III） 是否存在实数m，使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。
一、选择题：
1―12题DABBA CBCBD DC
二、填空题：
13、31或40
14、乙
15、5
16、③④
三、解答题：
17、解：（I）m•n=
=
=
∵m•n=1
∴
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
=
┉┉┉┉┉┉┉6分
（II）∵（
由正弦定理得
┉┉┉┉┉┉7分
∴
∴
∵
∴
，且
∴
┉┉┉┉┉┉8分
∴
┉┉┉┉┉┉9分
∴
┉┉┉┉┉┉10分
又∵f(x)=m•n＝，
∴f(A)=
┉┉┉┉┉┉11分
故函数f(A)的取值范围是（1,
）┉┉┉┉┉┉12分
18、解：（I）设“甲射击一次命中”为事件A，“乙射击一次命中”为事件B
由题意得
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分
解得
或
（舍去），┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉5分
故乙射击的命中率为
。┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(II)由题意和（I）知
。
ξ可能的取值为0，1，2，3，故
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉7分
.8分
┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉9分
┉┉┉10分
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
由此得ξ的数学期望
┉┉┉12分
19、解：(I)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有2(a3+2)=a2+a4,
代入a2+a3+a4=28, 得a3=8,
∴a2+a4=20┉┉┉┉┉┉┉┉2分
∴
解之得
或
┉┉┉┉┉┉┉┉4分
又{an}单调递增，∴q=2,a1=2,
∴an=2n ┉┉┉┉┉┉┉┉6分
(II)
, ┉┉┉┉┉┉┉┉7分
∴
①
∴
②
∴①-②得
＝
┉10分
∴
即
又当n≤4时,
, ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
当n≥5时,
.
故使成立的正整数n的最小值为5 . ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
20、（I）证明：在直棱柱ABC-A1B
∵ ∠ACB＝90º，∴A
∵CG
平面C1CBB1,∴A
在矩形C1CBB1中，CC1＝BB1＝2BC，G为BB1的中点，
CG＝
BC，CBC，CC1＝2BC
∴∠CGC1＝90，即CG⊥C
而A
∴CG⊥平面A1GC1。
∴平面A1CG⊥平面A1GC1。┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（II）由于CC1平面ABC，
∠ACB＝90º，建立如图所示的空间坐标系，设AC＝BC＝CC1＝a，则A(a,0,0),B(0,a,0)
A1(a,0,
∴
=(a,0,
=(0,a,a). ┉┉┉┉┉┉┉┉8分
设平面A1CG的法向量n1=(x1,y1,z1),
由
得
令z1=1,n1=(-2,-1,1). ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
又平面ABC的法向量为n2=(0,0,1) ┉┉┉┉┉┉┉┉10分
设平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角为θ，
则
┉┉┉┉┉┉┉┉11分
即平面ABC与平面A1CG所成锐二面角的平面角的余弦值为
。┉┉┉12分
21、解：（I）∵△ABM是边长为2的正三角形，∴圆M的半径r＝2，┉┉┉┉┉┉1分
∴M到y轴的距离d＝
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
又圆M与x轴相切，∴当x＝c时，得y＝
,r＝
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
∴＝2，c＝┉┉┉┉┉┉┉┉4分
∵
解得a＝3或a＝－1（舍去），则b2＝
故所求的椭圆方程为
.┉┉┉┉┉┉┉┉6分
（2）设C(x1,y1),D(x2,y2)。
①当直线CD与x轴重合时，有
∵c=1, ∴a2=b2+c2>1,
恒有
┉┉┉┉┉┉┉┉7分
②当直线CD不与x轴重合时，设直线CD的方程为x=my+1，代入
整理得
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
∴
∵恒有，∴
恒为钝角，
则
=x1x2+y1y2<0恒成立┉┉┉┉┉┉┉┉9分
∴x1x2+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=
+1
┉┉┉┉┉┉┉┉10分
又
>0
∴
<0对m
R恒成立，
即
对mR恒成立。
当mR时，
的最小值为0，∴
<0. ┉┉┉┉┉┉┉┉11分
∴
,即
∴a>0,b>0, ∴a<b2,即a<a2-1, ∴a2-a-1>0.
解得
或
，即。
由①②可知，a的取值范围是(
,+∞) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
22、（1）由a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x
即
┉┉┉┉┉┉┉┉1分
记
，则f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于
.
求得
┉┉┉┉┉┉┉┉2分
当
时;
;当
时，
┉┉┉┉┉┉┉┉3分
故
在x=e处取得极小值，也是最小值，
即
，故
. ┉┉┉┉┉┉┉┉4分
（2）函数k(x)=f(x)-h(x)在［1,3］上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在［1,3］上恰有两个相异实根。┉┉┉┉┉┉┉┉5分
令g(x)=x-2lnx,则
┉┉┉┉┉┉┉┉6分
当
时，
,当
时，
g(x)在[1,2]上是单调递减函数，在
上是单调递增函数。
故
┉┉┉┉┉┉┉┉8分
又g(1)=1,g(3)=3-2ln3
∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),
故a的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) ┉┉┉┉┉┉┉┉9分
（3）存在m=，使得函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性
,函数f(x)的定义域为（0,+∞）。┉┉┉┉┉┉10分
若
，则
，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，不合题意;┉┉┉11分
若
,由
可得2x2-m>0，解得x>
或x<-（舍去）
故时，函数的单调递增区间为(,+∞)
单调递减区间为(0, ) ┉┉┉┉┉┉┉┉12分
而h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,)，单调递增区间是(，+∞)
故只需=，解之得m= ┉┉┉┉┉┉┉┉13分
即当m=时，函数f(x)和函数h(x)在其公共定义域上具有相同的单调性。┉14分
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