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试题

广东省汕头市部分重点中学2009届高三毕业考试高考模拟数学（理）试题

考生注意：

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。考试结束后将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净扫，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

2．若集合”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．令的展开式中含项的系数，则数列的前n项和为（）

A． B． C． D．

4．已知三条不重合的直线m、n、l两个不重合的平面，有下列命题

①若；

②若；

③若；

④若；

其中正确的命题个数是（）

A．1 B．2 C．3 D．4

5．由曲线和直线x=1围成图形的面积是（）

A．3 B． C． D．

6．同时具有性质“①最小正周期是，②图象关于直线对称；③在上是增

函数”的一个函数是（）

A． B．

C． D．

A．的图象 B．的图象

C．的图象 D．的图象

8．圆关于直线对称，则ab的取值范

围是（）

A． B． C． D．

A． B．

C． D．

2,4,6

A．（1，+） B．（1，2） C．（1，1+） D．（2，1+）

11．设定义域为R的函数满足下列条件：①对任意；②对任意，当时，有则下列不等式不一定成立的是

（）

A． B．

C． D．

12．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（）

A．60 B．48 C．36 D．24

2,4,6

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13．某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：

产品类别

A

B

C

产品数量（件）

1300

样本容量（件）

130

由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是件。

14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为。

15．右边程序框图的程序执行后输出

的结果是。

16．给出下列四个命题：

①命题“”的否定是“”；

②线性相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个随机变量线性相关性越强；

③若，则不等式成立的概率是；

④函数上恒为正，则实数a的取值范围是。

其中真命题的序号是。（填上所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共计74分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。

17．（本小题满分12分）

已知△ABC的面积S满足3≤S≤3且的夹角为，

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）求的最小值。

18．（本小题满分12分）

一袋子中有大小相同的2个红球和3个黑球，从袋子里随机取球，取到每个球的可能性是相同的，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分。

（Ⅰ）若从袋子里一次随机取出3个球，求得4分的概率；

（Ⅱ）若从袋子里每次摸出一个球，看清颜色后放回，连续摸3次，求得分的概率分布列及数学期望。

19．（本小题满分12分）

如图，棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°。

（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；

（Ⅱ）求二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值；

20．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求的极值；

（Ⅱ）若函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。

21．（本小题满分12分）

如图，O是坐标原点，已知三点E（0，3），F（0，1），G（0，－1），直线L：y=－1，M是直线L上的动点，H、P是坐标平面上的动点，且

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

22．（本小题满分14分）

对所表示的平面区域为D_n，D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）数列时.证明当时，；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较与4的大小关系。

一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）

2,4,6

二、填空题（每小题4分，共4小题，满分16分）

13．800 14． 15．625 16．②④

三、解答题（本大题共6小题，满分74分）

17．解

（Ⅰ）由题意知

……………………3分

……………………4分

的夹角

……………………6分

（Ⅱ）

……………………9分

有最小值。

的最小值是……………………12分

18．解：

（Ⅰ）设“一次取出3个球得4分”的事件记为A，它表示取出的球中有1个红球和2个黑球的情况

则……………………4分

（Ⅱ）由题意，的可能取值为3、4、5、6。因为是有放回地取球，所以每次取到红球的概率为……………………6分

的分布列为

3

4

5

6

P

……………………10分

19．解：

连接BD交AC于O，则BD⊥AC，

连接A₁O

在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，

∠A₁AO=60°

∴A₁O²=AA₁²+AO²－2AA₁?Aocos60°=3

∴AO²+A₁O²=A₁²

∴A₁O⊥AO，由于平面AA₁C₁C⊥

平面ABCD，

所以A₁O⊥底面ABCD

∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A（0，－1，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（－，0，0），A₁（0，0，）

……………………2分

（Ⅰ）由于

则

∴BD⊥AA₁……………………4分

（Ⅱ）由于OB⊥平面AA₁C₁C

∴平面AA₁C₁C的法向量

设⊥平面AA₁D

则

得到……………………6分

所以二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）假设在直线CC₁上存在点P，使BP//平面DA₁C₁

设

则

得……………………9分

设

则设

得到……………………10分

又因为平面DA₁C₁

则?

即点P在C₁C的延长线上且使C₁C=CP……………………12分

法二：在A₁作A₁O⊥AC于点O，由于平面AA₁C_1C⊥平面

ABCD，由面面垂直的性质定理知，A₁O⊥平面ABCD，

又底面为菱形，所以AC⊥BD

……………………4分

（Ⅱ）在△AA₁O中，A₁A=2，∠A₁AO=60°

∴AO=AA₁?cos60°=1

所以O是AC的中点，由于底面ABCD为菱形，所以

O也是BD中点

由（Ⅰ）可知DO⊥平面AA₁C

过O作OE⊥AA₁于E点，连接OE，则AA₁⊥DE

则∠DEO为二面角D―AA₁―C的平面角

……………………6分

在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°

∴AC=AB=BC=2

∴AO=1，DO=

在Rt△AEO中，OE=OA?sin∠EAO=

DE=

∴cos∠DEO=

∴二面角D―A₁A―C的平面角的余弦值是……………………8分

（Ⅲ）存在这样的点P

连接B₁C，因为A₁B₁AB_DC

∴四边形A₁B₁CD为平行四边形。

∴A₁D//B₁C

在C₁C的延长线上取点P，使C₁C=CP，连接BP……………………10分

因B₁BCC₁，……………………12分

∴BB₁CP

∴四边形BB₁CP为平行四边形

则BP//B₁C

∴BP//A₁D

∴BP//平面DA₁C₁

20．解：

（Ⅰ）

令……………………2分

当是增函数

当是减函数……………………4分

∴……………………6分

（Ⅲ）（i）当时，，由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数

……………………7分

又当时，所以的图象在上有公共点，等价于…………8分

解得…………………9分

（ii）当时，上是增函数，

∴

所以原问题等价于

又

∴无解………………11分

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