江苏省南京市2009届高三第一次调研考试
数学试题2009.3
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、计算：
= 。
2、若复数
是虚数单位）为纯虚数，则
= 。
3、某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为
，
。已知这组数据的平均数为10，则其方差为 。
4、已知等比数列
的各项均为正数，若
，前三项的和为21 ，
则
。
5、设
是两个集合，定义集合
，若
，
，则
。
6、根据如图所示的伪代码，可知输出的结果
为
。
7、已知扇形的周长为
，则该扇形面积的最大值为 
。
8、过椭圆
的左顶点
作斜率为
的直线，与椭圆的另一个交点为
，与
轴的交点为
。若
，则该椭圆的离心率为
。
9、若方程
在区间
上有解，则所有满足条件的
的值的和为
。
10、如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔、，灯塔位于灯塔的正南方向，海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔的北偏西
方向，与相距
海里的
处；乙船位于灯塔B的北偏西
方向，与相距5海里的
处，则两艘船之间的距离为 海里。
11、如图，在正三棱柱
中，D为棱
的中点，若截面
是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为
。
12、设
：函数
在区间
上单调递增；
，如果“┐p”是正真命题，那么实数
的取值范围是
。
13、如图，在正方形
中，已知
，
为
的中点，若
为正方形内（含边界）任意一点，则
的最大值是 。
14、已知函数
，
，
是其图象上不同的两点.若直线
的斜率总满足
，则实数的值是
。
二、解答题
15、（本题满分14分）
某学校篮球队，羽毛球队、乒乓球队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1) 该队员只属于一支球队的概率；
（2）该队员最多属于两支球队的概率
16、（本题满分14分）如图，在四棱锥
中，底面中为菱形，
，
为
的中点。
（1） 若
，求证：平面
平面
；
（2） 
点在线段
上，
，试确定实数
的值，使得
平面
。
17、（本题满分14分）已知函数
。
（1） 求函数
在
上的值域；
（2） 在
中，若
，求
的值。
18、（本题满分16分）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5。
（1） 求抛物线的标准方程；
（2）
设点是抛物线上的动点，若以为圆心的圆在轴上截得的弦长为
，求证：
圆过定点。
19、（本题满分16分）设
，函数
.
(1) 当
时,求曲线
在
处的切线方程;
(2) 当
时,求函数的最小值.
20、（本题满分16分）在数列中，已知
，且，
（1） 若数列为等差数列，求的值。
（2） 求数列的前
项和
（3） 当
时，求证：
南京市2009届高三第一次调研试数学附加题
21、选做题(在
四小题中只能选做2题，每小题10分,共计2分)
.选修
：几何证明选讲
如图，已知四边形内接于⊙O,
,
切⊙O于点
.求证：
.
B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
，
。在平面直角坐标系中，设直线
在矩阵
对应的变换作用下得到的曲线
，求曲线的方程。
C.选修4-4;坐标系与参数方程
已知直线和参数方程为
,
是椭圆
上任意一点，求点到直线的距离的最大值。
D．选修4-5：不等式选讲
已知
为正数，求证：
.
必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。
22．已知圆
：
，定点，动圆过点
，且与圆相内切。
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若过原点的直线与（1）中的曲线交于两点，且
的面积为
，求直线的方程。
23已知：
（1）当
时，求
的值。
（2）设
，
。试用数学归纳法证明：
当时，
一、填空
1、
；2、
；3、；4、
；5、
；6、5；7、
；8、
；9、
；
10、
；11、
；12、
；13、
；14、
。
二、解答题
1`5、（本题满分14分）
解：（1）（设“该队员只属于一支球队的”为事件A，则事件A的概率
（2）设“该队员最多属于两支球队的”为事件B，则事件B的概率为
答：（略）
16、（本题满分14分）
解：（1）连
，四边形
菱形 
，
为
的中点， 
又
，
（2）当
时，使得
，连
交
于
，交于
，则为 的中点，又为
边上中线，为正三角形
的中心，令菱形的边长为
，则
，
。
即：
。
17、解：
（1）
，
在区间
上的值域为
（2）
，
，
18、解：（1）依题意，得：
，
。
抛物线标准方程为：
（2）设圆心
的坐标为
，半径为
。
圆心在
轴上截得的弦长为
圆心的方程为：
从而变为：
①
对于任意的
，方程①均成立。
故有：
解得：
所以，圆过定点（2，0）。
19、解（1）当
时，
令
得 
所以切点为（1，2），切线的斜率为1，
所以曲线
在处的切线方程为：
。
（2）①当
时，
，
，
恒成立。 
在
上增函数。
故当
时，
② 当
时，
，
（）
（i）当
即
时，
在
时为正数，所以在区间
上为增函数。故当时，
，且此时
(ii)当
，即
时，在
时为负数，在间
时为正数。所以在区间
上为减函数，在
上为增函数
故当
时，
，且此时
(iii)当
；即 
时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。
综上所述，当时，在时和
时的最小值都是
。
所以此时的最小值为
；当时，在时的最小值为
，而，
所以此时的最小值为。
当时，在时最小值为，在时的最小值为
，
而，所以此时的最小值为
所以函数的最小值为
20、解：（1）设数列
的公差为
，则
，
，
依题得：
，对
恒成立。
即：
，对恒成立。
所以
，即：
或
，故
的值为2。
（2）
所以，
① 当
为奇数，且
时，
。
相乘得
所以 
当
也符合。
② 当为偶数，且
时，
， 
相乘得
所以 
，所以 
。因此 
，当
时也符合。
所以数列的通项公式为
。
当为偶数时，
当为奇数时，
为偶数，
所以
南京市2009届高三第一次调研试
数学附加题参考答案
21、选做题
.选修
：几何证明选讲
证明：因为
切⊙O于点
，所以
因为
，所以 
又A、B、C、D四点共圆，所以 
所以 
又
，所以
∽
所以
即
所以 
即：
B.选修4-2：矩阵与变换
解:由题设得
,设
是直线
上任意一点,
点在矩阵
对应的变换作用下变为
,
则有
, 即 
,所以
因为点在直线上,从而
,即：
所以曲线
的方程为 
C.选修4-4;坐标系与参数方程
解： 直线
的参数方程为
为参数）故直线的普通方程为
因为为椭圆
上任意点，故可设
其中
。
因此点
到直线的距离是
所以当
，
时，取得最大值
。
D．选修4-5：不等式选讲
证明：
，所以 
必做题：第22题、第23题每题10分，共20分。
22、解：（1）设圆
的半径为。
因为圆与圆
，所以
所以
，即：
所以点的轨迹是以
为焦点的椭圆且设椭圆方程为
其中 
，所以
所以曲线的方程
（2）因为直线过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，
因为
，所以
。
不妨设点
在
轴上方，则
。
所以
，
，即：点的坐标为
或
所以直线的斜率为
，故所求直线方和程为
23、（1）当
时，
原等式变为
令
得 
（2）因为
所以
①当时。左边=
，右边
左边=右边，等式成立。
②假设当
时，等式成立，即
那么，当
时，
左边
右边。
故当时，等式成立。
综上①②，当
时，
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