上海市九校
2009届第二学期高三联考试卷
数学(文科)
命题人：大团高级中学 （李青）
一．填空题（本大题满分60分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分．
1、 函数
的定义域为 .
2、若向量
，则向量
的夹角等于
3、 已知数列
的前
项和为
，若
，则
.
4、方程 
在区间
内的解集
5、如图，程序执行后输出的结果为_________
6、将圆锥的侧面展开恰为一个半径为2的半圆，
则圆锥的体积是 .
7、复数
满足
，
则复数
对应的点
的轨迹方程
8. 已知函数
的反函数是
，
则函数的图象必过定点
9、若函数
是以5为周期的奇函数，
，且
，
则
=
10、
的展开式中的常数项为
11、已知点
在不等式组
所表示的平面区域内，
则
的值域为
12、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成”函数。
给出下列函数：
（1）
；（2）
；（3）
；
（4）
；（5）
，
其中“互为生成”函数有 （把所有可能的函数的序号都填上）
二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。
13、函数
的图象大致是
…………………………（ ）
14、若动直线
与函数
和
的图像分别交于
两点，
则
的最大值为
…………………………（ ）
A．1 B．
D．
15、给出下面四个命题：
①“直线a、b为异面直线”的充分非必要条件是：直线a、b不相交；
②“直线l垂直于平面
内所有直线”的充要条件是：l⊥平面；
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在平面内的射影”；
④“直线∥平面
”的必要非充分条件是“直线a至少平行于平面内的一条直线”．
其中正确命题的个数是 ………………………… （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
16、给出如下三个命题：
① 三个非零实数
、
、
依次成等比数列的充要条件是
；
② 设、
,且
，若
，则
；
③ 若
，则
是偶函数.
其中假命题的序号是 …………………………………………… （ ）
A. ①②③ B . ①③ C. ①② D. ②③
三、解答题 (本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
17、（本题满分12分）
如图，在四棱锥
中，底面为直角梯形，
，
垂直于底面
，
分别为
的中点。
求异面直线
与
所成的角。
解：
18、（本题满分12分）
如图，海上一小岛
上有一灯塔，在它周围方圆
海里范围内布满暗礁．一艘船由西向东航行，行至
处测得岛在它的北
东，继续前进
海里后至
处，测得岛在它的
东．如果继续沿原方向前进，船是否有触礁的危险？
解：
19、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分, 第3小题满分6分.
定义在R上的单调函数
满足
且对任意
∈R都有
,
(1)求
的函数值；
(２)判断的奇偶性，并证明；
(3)若
对于任意
∈R恒成立，求实数
的取值范围．
解：
20、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.
已知公差大于零的等差数列
的前n项和为Sn，且满足：
，
．
（1）求数列的通项公式
；
（2）若数列
是等差数列，且
，求非零常数c；
（3）若(2)中的的前n项和为
，求证：
解：
21、（本题满分20分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分, 第3小题满分6分.
如图，已知椭圆
的焦点和上顶点分别为
、
、，
我们称
为椭圆的特征三角形.如果两个椭圆的 特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为
椭圆的相似比.
（1）已知椭圆
和
，
判断
与
是否相似，
如果相似则求出与的相似比，若不相似请说明理由；
（2）已知直线
,与椭圆相似且半短轴长为的椭圆
的方程，
在椭圆上是否存在两点
、
关于直线
对称，
若存在，则求出函数
的解析式.
（3）根据与椭圆相似且半短轴长为的椭圆的方程，提出你认为有价值的
相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
解：
上海市九校2008学年第二学期高三数学（文科）
一、 填空题：
1、
2、
3、128 4、
5、64 6、
7、
8、
9、-4 10、15 11、
12、（1）（2）（5）
二、选择题：
13、D 14、 C 15、 B 16、 C
17、解：以A为原点，以AB、AD、AP所在直线分别
轴，
建立空间直角坐标系。 -----2分
则 C（2，1，0） N（1，0，1） 
=（-1，-1，1）---4分
D（0，2，0） M（1，
，1） 
=（1，-
，1）---6分
设与的夹角为
，
----8分
---10分
异面直线
与
所成的角为 -----12分
18、解：延长
，作
交于D，------4分
设
，则
------8分
解得
．------10分
故船继续朝原方向前进有触礁的危险．-----12
19、解： (1)因为f(x+y)=f(x)+f(y)，
令x=y=0，代入①式，-----2分
得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0 --------4分
（２）令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，
则有0=f(x)+f(-x)．------6分
即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，
所以f(x)是奇函数．．．．．．．8分
(3) f(3)=log
3＞0，即f(3)＞f(0)，
又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，----10分
又由(1)f(x)是奇函数．
f(k?3
)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，
k?3＜-3+9+2，
得
------12分
------------１4分
20、解：（1）
为等差数列，∵
，又
，
∴ 
，
是方程
的两个根
又公差
，∴
，∴
，
-------- 2分
∴ 
∴
∴
-----------4分
（2）由(1)知，
-----------5分
∴
∴
，
，
------------7分
∵
是等差数列，∴
，∴
----------8分
∴
（
舍去）
------------9分
（3）由(2)得
-------------11分
，
时取等号 ------- 13分
，
时取等号15分
(1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以
-----------16分
21、解：（1）椭圆
与
相似. -----2分
因为的特征三角形是腰长为4，底边长为
的等腰三角形，
而椭圆的特征三角形是腰长为2，
底边长为
的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为
.
---
6分
（2）椭圆
的方程为：
.
--------8分
假定存在，则设
、
所在直线为
，
中点为
.
则
.
-------10分
所以
.
中点在直线
上，所以有
. ----12分
.
. -------14分
（3）椭圆的方程为：.
两个相似椭圆之间的性质有： 写出一个给2分
① 两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
② 分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；
③ 两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；
过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ----20分
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