陕西省师大附中2009届高三第四次模拟考试
数学理科试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是正确的.请把答案填在答题卷上)
1.设是实数,且是实数,则( )
. . . .
2.设集合,,则( )
. . . .
3.设是等差数列的前项和,,则的值为( )
. . . .
4.已知条件:,条件:直线与圆相切,则是的( )
.充分不必要条件 .必要不充分条件
.充要条件 .既不充分又不必要条件
5.某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查,经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查,发现有20名同学上次被抽到过,估计这个学校高一年级的学生人数为( )
. . . .
6.若在处连续,且时,,则( )
. . . .
7.已知函数,方程有6个不同的实根,则实数的取值范围是( )
. . . .
8.双曲线与椭圆的离心率之积大于,则以为边长的三角形一定是( )
.等腰三角形 .锐角三角形 .直角三角形 .钝角三角形
9.若向量,且,则的最小值为( )
. . . .
10.在正三棱锥中,为的中点,为的中心,,则直线与平面所成角的正弦值为( )
. . . .
11.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案总数有( )
.种 .种 .种 .种
12.给定,定义使乘积为整数的叫做理想数,则区间内的所有理想数的和为 ( )
. . . .
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,满分16分.请把答案填在答题卷上)
13.函数的最小正周期为 .
14.已知满足条件的平面区域的面积是,则实数 .
15.设为的展开式中项的系数,则数列的前项和为 .
16.为棱长为的正方体表面上的动点,且,则动点的轨迹的长度为________________.
三、解答题(本大题共6小题,满分74分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知,为坐标原点.
(Ⅰ),求的值;
(Ⅱ)若且,求的夹角.
18. ( 本小题满分12分)
某地机动车驾照考试规定:每位考试者在一年内最多有次参加考试的机会,一旦某次考试通过,便可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第三次为止,如果小王决定参加驾照考试,设他一年中三次参加考试通过的概率依次为.
(Ⅰ)求小王在一年内领到驾照的概率;
(Ⅱ)求在一年内小王参加驾照考试次数的分布列和的数学期望.
19.(本小题满分12分)
如图,等腰梯形中,,于,于,,,将和分别沿着和折起,使重合于一点,与交于点,折起之后:
(Ⅰ)求证:平面平面;
(Ⅱ)求异面直线和所成的角;
(Ⅲ)求二面角的大小.
20. (本小题12分)
已知函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,记,求的最大值.
21. (本小题12分)
已知数列{}的前项的和为,对一切正整数都有.
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)若,证明:.
22.(本小题满分14分)
过双曲线的右焦点的直线与右支交于两点,且线段的长度分别为.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)当直线的斜率时,求的取值范围.
陕西师大附中高2009级第四次模拟考试数学理科
一、 选择题(每小题5分,共60分)
CADACD CDBDBA
二、填空题(每小题4分,共16分)
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵,
由,得
两边平方:=,∴= ………………6分
(Ⅱ)∵,
∴,解得,
又∵, ∴,
∴,,
设的夹角为,则,∴
即的夹角为. …………… 12分
18. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ)小王在一年内领到驾照的概率为:
………………………( 4分)
(Ⅱ)的取值分别为1,2,3.
,
………………………( 8分)
所以小王参加考试次数的分布列为:
1
2
3
0.6
0.28
0.12
所以的数学期望为 ……………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)证明:由已知得,所以,即,
又,,∴, 平面
∴平面平面.……………………………4分(文6分)
(Ⅱ)解:设的中点为,连接,则∥,
∴是异面直线和所成的角或其补角
由(Ⅰ)知,在中,,,
∴.
所以异面直线和所成的角为.…………………8分(文12分)
(Ⅲ)(解法一)由已知得四边形是正方形,
∴又,∴,
过点做于,连接,则,
则即二面角的平面角,
在中,,所以,
又,由余弦定理得,
所以二面角的大小为.……………12分
(解法二)向量法
设为的中点,则,以为坐标原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,
则,
设平面的法向量
由得由得所以
同理得平面的法向量
,
所以所求二面角的大小为.………………12分
20.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)
当时,,∴.
当
……………6分
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)的讨论可知
即
∴
∴………………12分
21.(本小题满分12分)
解:(Ⅰ)∵
∴
∴
令,则,∴
,∴
∴.……………6分
(Ⅱ)证明:
∴
又∵,∴
∴
∴.………………12分
22.(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)①当直线轴时,
则,此时,∴.
(不讨论扣1分)
②当直线不垂直于轴时,,设双曲线的右准线为,
作于,作于,作于且交轴于
根据双曲线第二定义有:,
而到准线的距离为.
由,得:,
∴,∴,∵此时,∴
综上可知.………………………………………7分
(Ⅱ)设:,代入双曲线方程得
∴
令,则,且代入上面两式得:
①
②
由①②消去得
即 ③
由有:,综合③式得
由得,解得
∴的取值范围为…………………………14分
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