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    2009届高考数学第三轮复习精编模拟十二

    参考公式：

    如果事件互斥，那么                                   球的表面积公式

                                       

    如果事件相互独立，那么                            其中表示球的半径

                                             球的体积公式

    如果事件在一次试验中发生的概率是，那么         

    次独立重复试验中事件恰好发生次的概率           其中表示球的半径

    第一部分 选择题（共50分）

    一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

    1．设集合，则满足的集合B的个数是（    ）。

    A．1          B．3            C．4            D．8

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    2  复数的值等于       （    ）

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       A．1         B．－1       C．         D．

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    3．设函数在处连续，且，则等于     （    ）

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       A．        B．        C．         D．

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    4．函数的图象大致是                        （    ）

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    5．设等差数列的公差为2，前项和为，则下列结论中正确的是              （　　）

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           A．                    B． 

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           C．                 D．

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    6．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有                                               （    ）

    A．7个                      B．8个               C．9个                D．10个

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    7．6支签字笔与3本笔记本的金额之和大于24元，而4支签字笔与5本笔记本的金额之和小于22元，则2支签字笔与3本笔记本的金额比较结果是                                                      （    ）

       A．3本笔记本贵           B．2支签字笔贵        C．相同    D．不确定

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    8．球面上有三点，其中任意两点的球面距离都等于球的大圆周长的，经过这三点的小圆的周长为，则这个球的表面积为                                                                                          （    ）

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           A．               B．                 C．               D．

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    9．如图，在中，，AC、BC边上的高分别为BD、AE，则以A、B为焦点，且过D、E的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 （    ）

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       A．       B．

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       C．     D．

     

     

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    10．下图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（    ）。

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    A．，           B．，    

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     C．，            D．， 

    第二部分 非选择题（共100分）

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    二、填空题：本大题共5小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分20分．

    11.设向量与的夹角为，，，

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    则　　　　　．

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    12.如图,一条直角走廊宽为1.5m，一转动灵活的平板手推车，其平

    板面为矩形，宽为1m.问:要想顺利通过直角走廊，平板手推车的长

    度不能超过            米.

     

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    13．如图，在正方体ABCD―A1B1C1D1中，点M

    是BC的中点，则D1B与AM所成角的余弦值

    是                              ．

     

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    14、(坐标系与参数方程选做题) 直线被圆所截得的弦长为                ．

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    15．(几何证明选讲选做题) 15、如图，⊙O的直径=6cm，是延

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    长线上的一点，过点作⊙O的切线，切点为，连接，

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    若30°，PC =            。

     

     

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    三．解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    16.（本题满分12分）将A、B两枚骰子各抛掷一次，观察向上的点数，问：

    （I）共有多少种不同的结果？

    （II）两枚骰子点数之和是3的倍数的结果有多少种？

    （III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是多少？

     

     

     

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    17．（本小题满分12分）已知函数是定义在上的偶函数，当时，．

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       （1）求当时的解析式；

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       （2）试确定函数的单调区间，并证明你的结论；

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       （3）若且，证明：.

     

     

     

     

     

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    18．（本小题满分14分）在四棱锥中，,,

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    *底面, ，直线与底面

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    成角，点分别是的中点．

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    （１）求二面角的大小；

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    （２）当的值为多少时，为直角三角形.

     

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    19．（本小题满分14分）已知在轴上有一点列：

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    ，点分有向线段所成的比为，其中，为

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    常数，.    

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    （１）设，求数列的通项公式；

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    （２）设，当变化时，求的取值范围.

     

     

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    20．（本小题满分14分）在东西方向直线延伸的湖岸上有一港口O，一艘机艇以40km/h的速度从O港出发，先沿东偏北的某个方向直线前进到达A处，然后改向正北方向航行，总共航行30分钟因机器出现故障而停在湖里的P处，由于营救人员不知该机艇的最初航向及何时改变的航向，故无法确定机艇停泊的准确位置，试划定一个最佳的弓形营救区域（用图形表示），并说明你的理由.

     

     

     

     

     

     

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    21．（本小题满分14分）如图，设的面积为，已知．

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       （1）若，求向量与 的夹角的取值范围；

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       （2）若，且，当取最小值时，建立适当的直角坐标系，求

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    以为中心，为一个焦点且经过点的椭圆方程．

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    一．选择题：CADDC  CBCAC

    解析：1.解：，，则集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个。故选择答案C。

    2．只要注意到，即可迅速得到答案.

    3.特殊值法, 令, 得.

    4.应注意到函数是奇函数, 可排除A, B选项, 代数值检验即得D.

    5.可理解为首项是，公差是的等差数列，故

    6.由题意知同族函数的定义域非空, 且由中的两个(这里和中各有一个), 或三个, 或全部元素组成, 故定义域的个数为.

    7.设签字笔与笔记本的价格分别是, 2支签字笔与3本笔记本的金额比较结果是, 即

       ,已知,,在直角坐标系中画图,可知直线的斜率始终为负, 故有, 所以选B

    8.由已知得小圆半径, 三点组成正三角形, 边长为球的半径, 所以有

    , , 所以球的表面积.

    9.设, 则在椭圆中, 有,  ,  而在双曲线中, 有

        , ,  ∴

    10. 解：5个有效分为84，84，86，84，87；其平均数为85。利用方差公式可得方差为1.6．

    二．填空题：11、；  12、；  13、；  14、；15、；

    解析：

    11.解：设向量与的夹角为且∴，则=.

    12. 设, 则有,

     根据小车的转动情况,  可大胆猜测只有时, .

    13. 设正方体的棱长为, 过点作直线交的延长线于, 连, 在中, , , , ∴

    14. 解：把直线代入得

    ，弦长为

    15.解：连接，PC是⊙O的切线，∴∠OCP=Rt∠．

    ∵30°，OC==3， ∴，即PC=．

    三．解答题：

    16.解: （I） 共有种结果　　　　　　………………4分　

    （II） 若用(a,b)来表示两枚骰子向上的点数，则点数之和是3的倍数的结果有：

    （1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），

    （3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）

    共12种．                                     　 ………………8分

    　（III）两枚骰子点数之和是3的倍数的概率是：P＝ 　　   …………12分

     

    17．（１）若，则， ∵函数是定义在上的偶函数，

    ∴     ----------3分

    （２）当时，．   --------------6分

    显然当时,;当时,，又在和处连续，

    ∴函数在上为减函数，在上为增函数.   -----------8分

    （3）∵函数在上为增函数，且，

    ∴当时，有，------------------10分

    又当时，得且， 即

    ∴   即得.    ----------12分

     

    18．（１）由已知,  得平面, 

    又,   ∴平面, 

    ∴为二面角的平面角.    ----------3分

    由已知,  得,

    ∵是斜边 上的中线, 

    ∴为等腰三角形,  ,

    即二面角的大小为.    -------------7分

    （２）显然.  若, 则平面, 

    而平面，故平面与平面重合，与题意不符.

    由是，则必有，

    连BD，设，由已知得，从而，

    又，∴，得，

    故平面，                      -----------10分

    ∴，又，∴平面,  ∴，反之亦然.

    ∵   ∴ ,  ∴∽  -------12分

    ∴.    --------14分

     

    19．（１）由题意得，

       -----------3分

    又， ∴数列是首项为、公比为的等比数列，-----------6分

    ∴   --------------7分

    （2）∵,

      ∴，     ---------12分

    ∴当时，   ------------14分

    20．以为原点，湖岸线为轴建立直角坐标系，  设OA的倾斜角为，点P的坐标为,

        ，则有　               ………………3分

                  -------------7分

        由此得 -------------9分

    即 -------------12分

    故营救区域为直线与圆围城的弓形区域.(图略)--------14分

    21．（１）由题意知，   可得．--------2分

    ∵， ∴，  有 ．  --------4分

    （２）以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，

    设，点的坐标为，                    -------5分

    ∵ ，  ∴， ．  -------6分

    ∴,  ∴． ------8分

    设，则当时，有．

    ∴在上增函数，∴当时，取得最小值，

    从而取得最小，此时 ．    ---------------------11分

    设椭圆方程为，

    则，解之得，故 ．--------14分


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