安徽省泗县一中2009年高三模拟试题（四月）数学（文）
本试卷分第I卷和第II卷两部分。
考试时间为120分钟，满分为150分。
参考公式：
三棱锥的体积公式
，其中
表示三棱锥的底面面积，
表示三棱锥的高。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合
，
，则
=
A．
B．
C．
D．
2．已知命题
A．
B．
C．
D．
3．向量
=（1，-2），
=（6，3），则与的夹角为
A．
B．
C．
D．
4．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知A=
, a=
, b=1，则c=
A．1
B．―1 D．
5．已知两条直线
，两个平面
，给出下面四个命题：
①
②
③
④
其中正确命题的序号是
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
6． 函数
的部分图象如图，则
A．
＝
，
＝
B．＝
,＝
C．＝,＝ D．＝,＝
7. 如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角
三角形的直角边长为1，那么这个几何体的表面积为
A．
B．
C．
D．
8. 已知点F1、F2分别是椭圆
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率是
A．
B. 
C. 
D. 
9. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如
定义函数
则下列命题中正确的是
A．
B．方程
有且仅有一个解
C．函数
是周期函数 D．函数是增函数
10．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联。连线标注的数字
表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量。现从结点
向结点
传递信息，信息可
以分开沿不同的路线同时传递。则单位时间内传递的最大信息量为
A．26 B．24
C．20 D．19
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．等差数列
的前
项和为
，若
．
12．如图，在直四棱柱A1B
时，有A
（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）
13．直线
始终平分圆
的周长，则
的最小值为
．
14．某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项
目乙投资的
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4
万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确规划投资后，在两
个项目上共可获得的最大利润为 万元．
三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分12分）
已知向量
,函数
（1）求的最小正周期;
（2）当
时, 若
求
的值．
16．（本小题满分12分）
已知函数
，常数
（1）讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）若函数在
上为增函数，求
的取值范围．
17．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F
分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C－BEP的体积．
18．（本小题满分14分）
设
是公比大于1的等比数列，为数列的前
项和．已知
，且
构成等差数列．
（1）求数列的通项；
（2）令
求数列
的前项和
．
19．（本小题满分14分）
已知动圆过定点
，且与直线
相切.
（1）求动圆的圆心轨迹
的方程；
（2）是否存在直线
，使过点（0，1），并与轨迹交于
两点，且满足
？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知
，且三次方程
有三个实根
．
（1）类比一元二次方程根与系数的关系，写出此方程根与系数的关系；
（2）若
，在
处取得极值且
，试
求此方程三个根两两不等时
的取值范围．
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
B
C
C
A
D
C
D
二、填空题（每小题5分，共20分）
11. 8 ； 12. AC⊥BD （ ABCD是正方形或菱形）；
13. 
； 14. 
；
三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分12分）
解：（1） 
…………………………1分
………………………………2分
. ………………………………………4分
的最小正周期是
. …………………………………6分
（2）由
得
…………………….8分
∵
，∴
∴
…………10分
∴ 
………………………………………………12分
16.（本小题满分12分）
解：（1）当
时，
，对任意
为偶函数 ……………………3分
当
时，
取
，得 
函数
既不是奇函数，也不是偶函数……6分
（2）解法一：要使函数在
上为增函数等价于
在上恒成立 ……………8分
即
在上恒成立，故
在上恒成立
∴
…………………………………10分
∴ 
的取值范围是
………………………………12分
解法二：设
………8分
要使函数在上为增函数，必须
恒成立
，即
恒成立 …………………………………10分
又
，
的取值范围是 ………………………………12分
17.（本小题满分14分）
证明: （1）取PC的中点G，连结FG、EG
∴FG为△CDP的中位线 ∴FG
CD……1分
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点
∴ABCD ∴FG
AE
∴四边形AEGF是平行四边形 ………………2分
∴AF∥EG ………3分
又EG
平面PCE，AF
平面PCE ………4分
∴AF∥平面PCE ………………………………………5分
（2）∵ PA⊥底面ABCD
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PA
AD=A
∴CD⊥平面ADP
又AF平面ADP
∴CD⊥AF ……………………………… 6分
直角三角形PAD中，∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形 ∴PA＝AD=2 ………………………… 7分
∵F是PD的中点
∴AF⊥PD，又CDPD=D
∴AF⊥平面PCD ……………………………… 8分
∵AF∥EG
∴EG⊥平面PCD …………………………… 9分
又EG平面PCE
平面PCE⊥平面PCD …………………………… 10分
（3）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE ……………………………11分
PA是三棱锥P－BCE的高，
Rt△BCE中，BE=1，BC=2，
∴三棱锥C－BEP的体积
VC－BEP=VP－BCE=
… 14分
18.（本小题满分14分）
解：（1）由已知得
解得
．…………………1分
设数列
的公比为
，由，可得
．
又
，可知
，即
， …………………4分
解得
．
由题意得
． 
．…………………………………………
6分
故数列的通项为
． …
……………………………………8分
（2）由于
由（1）得
=
………………………………………10分
又
是首项为
公差为的等差数列
……………12分
…………………………14分
19．（本小题满分14分）
解：（1）如图，设
为动圆圆心， 
，过点作直线
的垂线，垂足为
，由题意知： 
……………………………………2分
即动点到定点与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中
为焦点，
为准线，
∴动圆圆心的轨迹方程为
……………………………………5分
（2）由题可设直线
的方程为
由
得
△
，
………………………………………………7分
设
，
，则
，
………………………9分
由
，即 
，
，于是
，……11分
即
，
，
，解得
或
（舍去）， …………………13分
又
， ∴ 直线存在，其方程为
……………14分
20.（本小题满分14分）
解：（1）由已知，得
，比较两边系数，
得
． ……………………4分
（2）令
，要
有三个不等的实数根，则函数有
一个极大值和一个极小值，且极大值大于0，极小值小于0． …………5分
由已知，得
有两个不等的实根
，
，
得
．……… 6分
又
，
，将
代入（1）（3），有
，又
．
，
………8分
则
，且在
处取得极大值，在
处取得极小值10分 故要有三个不等的实数根，
则必须
………………
12分
解得
．
………………… 14分
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