1、【原创】（     ）

（A）     （B）     （C）    （D）

①本题的命题意图：向量是新教材增加的内容之一，是实现数形结合的有力工具，向量的中心内容是数量积。考试说明对平面向量数量积的要求：1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。2.能运用数量积表示两个向量的夹角。

②本题的解题要点：本题考查了平面三角形的热点“三心”问题。要求角C的大小，考虑同弧所对的圆心角与圆周角的倍角关系，故只需求对应的圆心角的大小，其中关键是将转换与的夹角。而与的夹角通过数量积的运算得到。

解：由得

    两边平方，得

    又,所以＝0，所以＝

    从而角C为，故选（C）

2、【原创】小刚在对函数与函数的图象比较时，得出以下几个结论：

①这两个函数在x=0处的导数值均为0；

②这两个函数的导函数在都递减;

③这两个函数的导函数在都递增。

   你认为小刚的结论正确的序号为（   ）。

A. (1)       B.(2)        C.(2)(3)     D.(1)(2)(3)

［答案及评分标准］：对①，

                   故①错误。

          对②导函数为二次函数，图象在单调递减；

               导函数，而cos2x 在是递增的，故在上是递减的，这样②正确。

 同理③也正确，因此正确答案为 C .

［试题来源］： 原创

［命题意图］： 了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性。

［解题要点］：本题的考查内容是函数导数及性质，难度稍难。对函数与函数的图象，很多同学误以为这两个图象是同种类型，是是压缩到一个周期而已。事实上他们差别很大，这是设计第一问的目的。 ②③两问是考查导函数的单调性，可能有老师会用二次求导来做，但不用二次导数，用常规方法来判断单调性也简单。按定义一步一步地做，关键是对照定义，易错点是学生只根据与函数的图象相似而主观臆断。

1、【改编】 在ABC中，∠C=90°，则cos²A+cos²B=1，用类比的方法猜想三棱堆的类似性质为：

在三棱堆A-BCD中，三个侧面ACD，ABD，ABC两两垂直，且与底面所成的角分别为则    。

证明：如图，作AH平面BCD于H，连BH并延长，交CD于F,连AF,

因为三个侧面ACD，ABD，ABC两两垂直，易证AB平面ACD,

从而ABAF，BFCD, AFCD.中，AHBF,

由射影定理：AF²=FH×FB,因为,

则=

同理：,。所以，

  。

①本题的命题意图： 通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握。通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。

②本题的解题要点：类比推理中一个重要类型是，平面几何中的结论推广到空间几何：点   线；线     面；面    体 。所以 ，线线角     二面角，提炼出这样一个模型，是本题关键。难点是射影定理的使用及面积转换。

原题的出处：（2003年全国）在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AC²+AB²=BC²”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则.

证明仿上：略

2、［试题正文] 已知点P是函数f(x)=图像上异于原点的一点，则过点P的曲线f(x)的切线与曲线f(x)的公共点有                个.

［答案及评分标准］2个

［试题来源］原创

［命题意图］根据“考试说明”中的导数的几何意义要求为“理解导数的几何意义”，于是，对于切线的概念必须有一个明确理解，特别是切线的定义与初中圆的切线的定义有较大的区别. 鉴于此，本题命制的关键点立足于“公共点”上. 本题属中档难度.

［解题要点］
关键点：本题应从常规的求曲线的切线方法中求解，就比较容易得到正确的答案. 解题如下：
设曲线上一点P，则在P点处的切线的斜率为：，根据直线的点斜式方程得到切线方程为：. 于是，切线与曲线的交点可由下列方程组求得：

整理得，(x-x₀)²(x+2x₀)=0，从而得到，x=x₀，或x=2x₀.
∵P不是原点，∴x₀≠0，于是，上述方程有两个实数根，即切线与曲线有两个公共点.
当然，本题可以从x→∞时，曲线的变化趋势也能得到正确的答案，无论时x→+∞，还是x→-∞，其切线的斜率均在增大，曲线就变的越来越陡，从而总能使切线（变化率恒定）与曲线（变化率无限增加≥-4）相交.
难点：正如一般填空题的难点一样，本题是一个小题却要从“通性通法”处解决，一方面比较繁，另一方面不容易想到. 同时，用图像解决还会有画图不准确的困难.
注意点或易错点：容易错误地填上答案：1个或2个. 由于本题的函数是个三次函数，学生比较熟悉，许多学生会利用函数图像的草图，不容易考察到无限远处的情况，如直线l₁与曲线的公共点情况不容易真实考虑。

[延伸]把正奇数数列1，3，5，7…中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下的三角形数表：

设三角形数表中第m行的第一个数为a_m，

(I)试用m表示a_m；

(II)请判断2009是该三角形数表中的第几行第几个数；

(III)已知函数f(x) ＝()ⁿ?（x＞0），若记三角形

数表中从上往下数第n行各数的和为b_n，求数列{f(b_n)}的前n项和S_n．

解：（I）第m行第一个数是2?；…………………3分

 (II)依题意，先求使得m是不等式≤2009的最大整数解，

由≤2007得≤0，

∵m ∈N^*，∴0m＜＝＝45.5, ∴m＝45，

于是，第45行第一个数是45²－45＋1＝1981，∴m＝，

所以，2009是45行的第15个数．……………………………………………………7分

 (III) ∵第n行第一个数是n²－n＋1,且有n个数，

若将n²－n＋1看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为2的等差数列，

故b_n＝n(n²－n＋1)＋×2＝n³

∴f(b_n) ＝()ⁿ?＝n()ⁿ，……………………………………………………9分

故S_n＝＋2()²＋3()³＋…＋(n－1)()ⁿ－¹＋n()ⁿ,

∴S_n＝ ()²＋2()³＋3()⁴＋…＋(n－1)()ⁿ＋n()^n＋1，

两式相减得：

S_n＝＋()²＋()³＋…＋()ⁿ－n()^n＋1……………………………………10分

    ＝，

∴S_n＝2－(n+2)()ⁿ．………………………………………………………………12分

［命题意图］考试说明对数列的理解、掌握级别要求：1.理解等差数列、等比数列的概念。2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式。3.能利用等差、等比数列前n项和公式及其性质求一些特殊数列的和。所以等差数列，等比数列，及其体现的重要方法：倒序相加，错位相减，裂项求和，叠加，累乘等，是常考查的重点。另外，数列与函数，数列与不等式，数列与数阵等的结合也是近几年常考查的热点。

［解题要点］求斜列二阶等差数列1，3，5，7，……的通项公式，叠加，错位相减等方法的灵活使用。

［试题来源］嘉兴市2008～2009第一学期期末卷18题：

将全体正整数排成如下的三角形数阵：按照如图的排列规律，

第n行（n>2）从左向右的第2个数为  n²-n+3  .

解析：设a₁=1,a₂=3,a₃=7,a₄=13,……,

       a₂-a₁=2   a₃-a₂=4   a₄-a₃=6 ……a_n-a_n-1=2n-2

 叠加得：a_n=n²-n+1  ,所以第n行（n>2）从左向右的第2个数为  n²-n+3   .