15．（本小题满分13分）

在中，角的对边分别为，且，，（I）求角的大小;   （II）求的面积.

16．（本小题12分）

某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．

（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；

（II）求某选手抽到体育类题目数的分布列和数学期望.

17．（本小题14分）

如图，直三棱柱中，，，D为棱 的中点．

（I）证明：；

（II）求异面直线与所成角的大小；

（III）求平面所成二面角的大小（仅考虑

     锐角情况）．

18．（本小题满分13分）

已知函数 .

（I）若函数的导函数是奇函数，求的值；

（II）求函数的单调区间.

19.（本小题满分14分）

已知F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，（1）求此椭圆的方程；（2）设是这个椭圆上的两点，并且满足时，求直线的斜率的取值范围.

20．（本小题满分14分）

已知数列时，.

  （Ⅰ）求；

  （Ⅱ）求证：；

  （Ⅲ）求证：仅存在两个正整数，使得.

2008―2009学年度东城区高中示范校高三质量检测（二）

数学答案(理)

1．D   2．B   3．A   4 .B   5．  6．A   7．A   8．B

9.     10.         11.2        12.270        13.         14.

15．（本小题13分）

解：①             --------------------------        4分

                    --------------------------    6分

                                     --------------------------- 7分

②             ----------------------------  9分

                     -------------------------        11 分    

             --------------------------  13分

16．（本小题12分）

解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为

…………………………………………………………………（4分）

（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2

则

……………………………………………………………（8分）

所以的分布列为：……………………………………………………………………（10分）

0

1

2

P

从而有…………………………………………（12分）

17．（本小题14分）

（I）证：都为等腰直角三角形

，即…………………………………………… （2分）

又

………………………………………………………… （4分）

（II）解：连交于E点，取AD中点F，连EF、CF，则

是异面直线与所成的角（或补角）………………… （5分）

，，

在中，………………… （8分）

则异面直线与所成角的大小为…………………… （9分）

（III）解：延长与AB延长线交于G点，连接CG

过A作,连，

，（三垂线定理）

则的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，…………………… （13分）

，

即所求的二面角的大小为……………………………………… （14分）

（18）（本小题共13分）

解：（I）-------------------------（2分）

是奇函数，， ---（4分）

（II），

①当时，恒有，

为 上的单调减函数；------------------------------(7分)

②当时，由得

----（10分）

当时，单调递增；

当时，单调递减；-------------（12分）

综上：当时，为 上的单调减函数；

当时，在上单调递增；

在上单调递减.-------------------（14分）

19．（本小题共14分）

解：（1）由于，

     _{……………………………………}（3分）

解得，从而所求椭圆的方程为_{………………}              （5分）

   （2）三点共线，而点N的坐标为（－2，0）.

设直线AB的方程为，

其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0.

由消去x得，

即_{………………………………}（6分）

根据条件可知 

解得_{…………………………………………………………}                                      （7分）

设，则根据韦达定理，得

又由

   从而

消去_{…………………………………………}                              （10分）

令，则

上的减函数，…………………………………………（12分）

从而，

即，

 ，

解得

因此直线AB的斜率的取值范围是       （14分）

20．（本小题满分14分）

   （I）解：b₅=1×2×3×4×5－1²－2²－3²－4²－5²=65.…………………………4分

   （II）证明：

                   =

                   =

                   .…………………………………………9分

   （III）解：易算出b₁=0，b₂≠0,b₃≠0, b₄≠0,…………………………………………11分

         当n≥5时，b_n+1=b_n－1，这表明{b_n}从第5项开始，构成一个以b₅=65为首项，公差为－1的等差数列.

          由b_m=b₅+(m－5)×(－1)=65－m+5=0，解出m=70.…………………………13分

          因此，满足a₁a₂…a_m=的正整数只有两个；

          m=70或m=1.……………………………………………………………………14分