15．（本小题满分13分）

在中，角的对边分别为，且，，（I）求角的大小;   （II）求的面积.

16．（本小题12分）

某次演唱比赛，需要加试综合素质测试，每位参赛选手需回答三个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目。测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取三次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答．

（I）求某选手在三次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；

（II）求某选手抽到2道体育类题目的概率.

17．（本小题14分）

如图，直三棱柱中，，，D为棱 的中点．

（I）证明：；

（II）求异面直线与所成角的余弦值；

（III）求平面所成二面角的正切值

（仅考虑锐角情况）．

18．（本小题满分13分）

已知：函数

（I）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平行，求实数 的关系式；

（II）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围.

19.（本小题满分14分）

已知圆C:

（1）若圆C的切线在轴和轴上的截距相等，求此切线的方程；

（2）从圆C外一点向该圆引一条切线，切点为为坐标原点，且有求使得取得最小值的点的坐标.

20．（本小题满分14分）

已知数列时，.

  （Ⅰ）求；

  （Ⅱ）求证：；

  （Ⅲ）求证：仅存在两个正整数，使得.

2008―2009学年度东城区高中示范校高三质量检测（二）

数学答案（文）

1．B   2．A   3．A   4 .B   5．  6．A   7．A   8．B

9.-4     10.         11.2        12.270        13.         14.

15．（本小题13分）

解：①             --------------------------        4分

                    --------------------------    6分

                                     --------------------------- 7分

②             ----------------------------  9分

                     -------------------------        11 分    

             --------------------------  13分

16．（本小题12分）

解：（1）从10道不同的题目中不放回的随机抽取三次，每次只抽取1道题，抽法总数为，只有第一次抽到艺术类题目的抽法总数为

…………………………………………………………………（4分）

（2）抽到体育类题目数的可能取值为0，1，2

则

……………………………………………………………（8分）

所以的分布列为：……………………………………………………………………（10分）

0

1

2

P

从而有…………………………………………（12分）

17．（本小题14分）

（I）证：都为等腰直角三角形

，即…………………………………………… （2分）

又

………………………………………………………… （4分）

（II）解：连交于E点，取AD中点F，连EF、CF，则

是异面直线与所成的角（或补角）………………… （5分）

，，

在中，………………… （8分）

则异面直线与所成角的大小为…………………… （9分）

（III）解：延长与AB延长线交于G点，连接CG

过A作,连，

，（三垂线定理）

则的平面角，即所求二面角的平面角… （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，…………………… （13分）

，

即所求的二面角的大小为……………………………………… （14分）

（18）（本小题共13分）

已知：函数

（I）若函数的图像上存在点，使点处的切线与轴平行，求实数的关系式；

（II）若函数在和时取得极值且图像与轴有且只有3个交点，求实数的取值范围.

解：（I）设切点

, ------------------------（2分）

,

因为存在极值点，所以，即-------（4分）

（II）因为，是方程的根，

所以，.----------------------(6分)

,

；------------（8分）

在处取得极大值，在处取得极小值.--------（10分）

函数图像与轴有3个交点，，

-----------------------------------------（13分）

19．（本小题14分）

解：（1）当截距为0时，设切线方程为

   又若圆C:圆心，半径为

     即                     ---------------------------------- 3分

当截距不为0时，设切线方程为

则

或                     ---------------------------------  6分

切线的方程为---7分

（2）

动点的轨迹是直线         ------------------------ 10分

的最小值就是的最小值，而的最小值为点到直线的距离       ---------------------------11分

解得           -------------------------- 13分

所求点                       ----------------------------   14分

20．（本小题满分14分）

   （I）解：b₅=1×2×3×4×5－1²－2²－3²－4²－5²=65.…………………………4分

   （II）证明：

                   =

                   =

                   .…………………………………………9分

   （III）解：易算出b₁=0，b₂≠0,b₃≠0, b₄≠0,…………………………………………11分

         当n≥5时，b_n+1=b_n－1，这表明{b_n}从第5项开始，构成一个以b₅=65为首项，公差为－1的等差数列.

          由b_m=b₅+(m－5)×(－1)=65－m+5=0，解出m=70.…………………………13分

          因此，满足a₁a₂…a_m=的正整数只有两个；

          m=70或m=1.……………………………………………………………………14分