1.若，则的周期是＿＿＿＿；2.若，则的周期是＿＿＿＿；

3. 若，则的周期是＿＿＿＿；

4.若是偶函数，且图象关于对称，则的周期是＿＿＿＿；

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，。（1）证明：，且时

（2）证明：函数在R上单调递减

（3）设，若，确定的取值范围。

（1）解：令，则，对于任意实数恒成立，

设，则，由得，

当时，  当时, ,

（2）证法一：设，则，

,函数为减函数

证法二：设，则

=

,

故    ,函数为减函数

（3）解：∵，  ∴

若，则圆心到直线的距离应满足，解之得

，

变式：已知定义在R上的函数满足：，当x＜0时，。

    （1）求证：为奇函数；（2）求证：为R上的增函数；

    （3）解关于x的不等式：。（其中且a为常数）

解：（1）由，令，得：

    ，即

    再令，即，得：

    是奇函数………………4分

    （2）设，且，则

    由已知得：

    即在R上是增函数………………8分

    （3）

    即

    当，即时，不等式解集为

    当，即时，不等式解集为

    当，即时，不等式解集为………………13分

【范例2】已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.，（1）求实数a的值组成的集合A；

（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x₁、x₂.试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.

解：（1）f＇(x)== ，

∵f(x)在[－1，1]上是增函数，

∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，

即x²－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.        ①

设j (x)=x²－ax－2，

①

          －1≤a≤1，

  ∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0

∴A={a|－1≤a≤1}.     

（2）由=，得x²－ax－2=0，   ∵△=a²+8>0

∴x₁，x₂是方程x²－ax－2=0的两非零实根，

             x₁+x₂=a，

∴          从而|x₁－x₂|==.

x₁x₂=－2，

∵－1≤a≤1，∴|x₁-x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，

当且仅当m²+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，

即m²+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立.        ②

设g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2)，

方法一：

     g(－1)=m²－m－2≥0，

②  

         g(1)=m²+m－2≥0，

m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

方法二：

当m=0时，②显然不成立；

当m≠0时，

      m>0，                m<0，

②                  或

       g(－1)=m²－m－2≥0      g(1)=m²+m－2≥0

 m≥2或m≤－2.

所以，存在实数m，使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.

【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.

变式：设函数，其中

（1）解不等式

（2）求的取值范围，使在区间上是单调减函数。

解：（1）不等式即为

当时，不等式解集为

当时，不等式解集为

当时，不等式解集为

（2）在上任取，则

所以要使在递减即，只要即

故当时，在区间上是单调减函数。

【范例3】已知函数的定义域为，且同时满足：①；②恒成立；③若，则有．

（1）试求函数的最大值和最小值；

（2）试比较与的大小N）；

（3）某人发现：当x=(nÎN)时，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：对一切xÎ(0,1,都有，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．

解: (1)设0≤x₁<x₂≤1,则必存在实数tÎ(0,1),使得x₂=x₁+t,

   由条件③得,f(x₂)=f(x₁+t)³f(x₁)+f(t)-2,

   ∴f(x₂)-f(x₁)³f(t)-2,

   由条件②得, f(x₂)-f(x₁)³0,

   故当0≤x≤1时,有f(0)≤f(x)≤f(1).                

   又在条件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,  

   故函数f(x)的最大值为3,最小值为2.                        

(2)解:在条件③中,令x₁=x₂=,得f()³2f()-2,即f()-2≤[f()-2],  

   故当nÎN*时，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤???≤[f()-2]=,

   即f()≤+2.

   又f()=f(1)=3≤2+,

   所以对一切nÎN,都有f()≤+2.                  

(3)对一切xÎ(0,1,都有.

  对任意满足xÎ(0,1，总存在n(nÎN),使得

        <x≤,                  

  根据（1）（2）结论，可知：

f(x)≤f()≤+2,

且2x+2>2´+2=+2,

故有.

综上所述，对任意xÎ(0,1,恒成立.