饶平二中2008
2009学年度每周一测试卷
理科数学
(考试时间：120分钟，全卷满分：150分)
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。)
1、有下列四个命题，其中真命题是：
A.
B.
C.
D.
2、已知等差数列
的前n项和为
，若
，则
等于：
A. 18
B.
3、△ABC中，
，
，
，则
的面积为：
A.
B. 
D.
4、已知
为虚数单位，且
，则
的值为：
A. 
B.
D.
5、已知抛物线过
，则抛物线的标准方程为:
A.
B. 或 
C. D.
或 
6、已知集合
至少有一个不是空集,则
的取值范围是:
A.
或
B.
C.
D.
7、若
是
上的增函数，且
，
，设
，
，若“
”是“
”的充分不必要条件，则实数
的取值范围是：
A.
B.
C.
D.
8、如图，在△ABC中,
,
，若
,
，则
A.
B.
C.
D.
二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分。)
9、圆
上的动点P到直线
的距离的最小值等于
10、某企业三月中旬生产，A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果；企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量（件）
1300
样本容量（件）
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是 件。
11、给出以下四个命题：
①已知命题
；命题
.则命题
和
都是真命题；
②过点
且在
轴和
轴上的截距相等的直线方程是
；
③函数
在定义域内有且只有一个零点；
④先将函数
的图像向左平移
个单位，
再将新函数的周期扩大为原来的两倍，则所得图像的
函数解析式为
．
其中正确命题的序号为 ．（把你认为正确
的命题序号都填上）
12、已知某算法的流程图如图所示，若将输出的
值
依次记为
，
，
。
(1) 若程序运行中输出的一个数组是
，则
；
(2) 程序结束时，共输出的组数为 .
13、(坐标系与参数方程选做题)已知曲线
与直线
有两个不同的公共点，则实数的取值范围是_________________.
14、(不等式选讲选做题)若关于的不等式
的解集为
,则实数的取值范围为
15、(几何证明选做题)如图，圆内的两条弦
、
相交于圆内一点P，已知
，
，则
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。)
16、（本小题满分12分）
已知四棱锥
（如图）底面是边长为2的正方形，侧棱
底面
，
、
分别为
、
的中点。
(1) 求证：平面
⊥平面
；
(2) 直线
与平面
所成角的正弦值
为
，求
的长。
17、(本小题满分12分)
如图，已知
是半圆
的直径，
，、、
是将半圆周四等分的三个分点。
(1) 从
、
、、、这5个点中任取2个点，假设这2个点之间的弧长为
，求
；
(2) 在半圆内任取一点
，求三角形
的面积大于
的概率。
18、(本小题满分14分)
如图，在四棱锥
中，底面是矩形，已知
，
，
，
，
。
(1) 证明
平面
；
(2) 求异面直线与所成的角的正切值；
(3) 求二面角
的正弦值。
19、(本小题满分14分)
某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为
万元（n为正整数）.
(1) 设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为
万元（须扣除技术改造资金），求
、的表达式；
(2) 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？
20、（本小题满分14分）
在棱长为2的正方体
中，
、
分别为
、DB的中点。
(1) 求证：
平面
；
(2) 求证：
；
(3) 求三棱锥
的体积V。
21、（本小题满分14分）
已知函数
在
上是增函数。
(1) 求的取值范围；
(2) 在(1)的结论下，设
，
，求函数
的最小值.
饶平二中2008
2009学年度每周一测试卷
一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的。)
B、D、C、A B、A、D、B
二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分。其中13～15题是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题得分。)
9、
； 10、800； 11、①③④； 12、
，1005；
13、
14、
； 15、
三、解答题：(本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。)
16、（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，MN
底面ABCD
∴MN⊥PA 又MN⊥AD 且PA∩AD = A
∴MN⊥平面PAD ………………………………………………4分
MN平面PMN ∴平面PMN⊥平面PAD ……………………6分
（2）∵BC⊥BA BC⊥PA PA∩BA = A ∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角
即
……………………………………………10分
在
中，
∴
………………12分
17、解：（1）由题意可知
、
、
、
、
这5个点相邻两点间的弧长为
的可能的取值有，2，3，4
，
，
于是
=×
＋2×
＋3×
＋4×
=2。…………………6分
（2）连结MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，易求得OD=
，
当S点在线段MP上时，三角形SAB的面积等于
××8 =
，
所以只有当S点落在阴影部分时，面积才能大于，
S阴影
= S扇形OMP - S△OMP = ×
×
-×= 4-8，
所以由几何概型公式的三角形SAB的面积大于
的概
率P =
。 …………………12分
18、解：（1）证明：在
中，由题设
，AD = 2可得
，于是
。在矩形
中，
.
又
，所以
平面
.…………………………………….4分
（2）解：由题设，
，所以
（或其补角）是异面直线
与
所成的角.
在
中，由余弦定理得
由（1）知平面，
平面，
所以
，因而
，于是
是直角三角形，
故
………………………….8分
（3）解：过点P做
于H，过点H做
于E，连结PE
平面，
平面，
.又
，
因而
平面，
平面，
又
，
，
平面
，又
平面
，从而
是二面角
的平面角…………….12分
由题设可得，
于是在
中，
….14分
19、解: (1)依题意知，数列
是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以
， ……………3分
＝
＝
＝
…………………7分
(Ⅱ)依题意得，
，即
，
可化简得
， ① …………………10分
可设
，
又
，可知
是减函数，
是增函数， 又
则
时不等式①成立
…………………13分
答：从今年起该企业至少经过4年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润……………………………………………….……14分
20、（1）连接
， E、F分别为
、DB的中点， EF//，
又
平面
，EF
平面，
EF//平面………………………………………………………4分
（2）正方体
中，
平面
，
平面
则
，正方形中，
，
又
= B，AB、
平面,
则
平面，平面，所以，又EF//,
所以EF. ……………………………………………………………9分
(3)正方体的棱长为2，
、
分别为、DB的中点。
……………………………..………………14分
21、解：（1）
…………………………………2分
在
上是增函数，
在上恒成立
即
…………………………………………4分
（当且仅当
时取等号）
所以
……………………..………………6分
（2）设
,则
当
时，
在区间
上是增函数
所以
的最小值为
……………………………………………10分
当
时，
因为函数在区间
上是增函数，在区间
上也是增函数，
又在上为连续函数，所以在上为增函数，
所以的最小值为
……………………………………14分
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