第五讲 等差等比

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．在等差数列中，，则（  A ）

A.       B.          C.        D. -1或1

2.（安徽）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ D  ）

A.       B.      C.    D.

3.已知数列{}的前项和，第项满足，则（　B　）

  A．         B．          C.          D．

4.已知两个等差数列和的前项和分别为A和，且，则使得为整数的正整数的个数是（　D　）

A．2      B．3      C．4      D．5

5.设等差数列的公差不为0，．若是与的等比中项，则（　B　）

Ａ．2      Ｂ．4      Ｃ．6      Ｄ．8

6. 等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为　　　　　　．

★★★高考要考什么

等差数列的证明方法：1. 定义法：2．等差中项：对于数列，若

等差数列的通项公式：------该公式整理后是关于n的一次函数

等差数列的前n项和 1．     2.     3.

等差中项: 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或

等差数列的性质:1．等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有

2.     对于等差数列，若，则。也就是：，

3．若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：

4．设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：

1当n为偶数时，， 2当n为奇数时，则，，

等比数列的判定方法:①定义法：若②等比中项：若，则数列是等比数列。

等比数列的通项公式:如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。

等比数列的前n项和:1   2   3当时，

等比中项:如果使，，成等比数列，那么叫做与的等比中项。那么。

等比数列的性质:

1．等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有

2.     对于等比数列，若，则也就是：。

3．若数列是等比数列，是其前n项的和，，那么，，成等比数列。如下图所示：

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．

解析 由已知得，   即 ，

解得或   或

经验证  或 均满足题意，即为所求．

【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．

【变式】已知等差数列｛a_n｝的公差和等比数列｛b_n｝的公比相等，且都等于d（d＞0，d≠1）.若a₁=b₁，a₃=3b₃，a₅=5b₅，求a_n，b_n．

解：由已知①②

由①，得a₁（3d²－1）＝2d          ③

由②，得a₁（5d⁴－1）＝4d          ④

因为d≠0，由③与④得2（3d²－1）＝5d⁴－1， 即5d⁴－6d²＋1＝0，解得d＝±1，d＝±．

∵d＞0，d≠1，∴d＝．代入③，得a₁＝－，故b₁=－.

a_n＝－＋（n－1）＝（n－6），b_n＝－×（）^n－1．

本小题考查等差数列和等比数列的概念、性质，方程（组）的解法以及运算能力和分析能力.

【范例2】下表给出一个“三角形数阵”：

                      ，

                      ，，

                      …  …   …  …

已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为a_ij ( i≥j， i， j∈N^*)．

(1) 求a₈₃；

(2) 试写出a _ij关于i， j的表达式；

(3) 记第n行的和为A_n，求

解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。

又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．∴．　

（2）由（1）知，，∴．　

（3）．

【点睛】在新颖背景――数表中运用数列知识．

【文】在等比数列{a _n}中，前n项和为S_n，若S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列，则a_m， a_m+2， a_m+1成等差数列

   （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明

解析（１）逆命题：在等比数列{a_n}中，前n项和为S_n，若a_m， a_m+2， a_m+1成等差数列，则 S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列

   （２）设{a_n}的首项为a₁，公比为q.    由已知得2a_m+2= a_m + a_m+1

    ∴2a₁q^m+1=a₁+a₁q^m    ∵a₁≠0  q≠0 ，∴2q²－q－1=0 ，  ∴q=1或q=－

当q=1时，∵S_m=ma₁， S_m+2= (m+2)a₁，S_m+1= (m+1)a₁，

∴S_m+S_m+1≠2 S_m+2，      ∴S_m，S_m+2，S_m+1不成等差数列

当q=－时， ，

∴S_m+S_m+1=2 S_m+2 ，     ∴S_m，S_m+2，S_m+1成等差数列

综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真

【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．

【变式】等差数列的前项和为．

（Ⅰ）求数列的通项与前项和；

（Ⅱ）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

解：（Ⅰ）由已知得，， 故．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

    假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．

    即．   ，

       ．    与矛盾．

    所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．

【范例3】若有穷数列（是正整数），满足即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列是项数为7的对称数列，且成等差数列，，试写出的每一项

（2）已知是项数为的对称数列，且构成首项为50，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数，试写出所有项数不超过的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，试求其中一个数列的前2008项和

解：（1）设的公差为，则，解得 ，数列为．

（2） ，  

    ，当时，取得最大值为626．

  （3）所有可能的“对称数列”是：

      ① ；  ② ；

      ③ ； ④ ．

对于①，当时，．   

 当时，

 ．     

 对于②，当时，．当时，．

 对于③，当时，；当时，．

 对于④，当时，；当时，．

 【点睛】在看懂题目意思基础上，注意各种情况的讨论，考察观察，分析，运用能力

【文】如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．

例如，数列与数列都是“对称数列”．

（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；

（2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；

（3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和．

解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，

    数列为．   

（2）

           67108861． 

（3）．由题意得 是首项为，公差为的等差数列．

  当时， ．

  当时， 

                      ．

综上所述，