第十四讲   不等式的应用

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．(北京) 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　D　）

Ａ．      Ｂ．       Ｃ．      Ｄ．或

2．(福建) 已知为R上的减函数，则满足的实数的取值范围是（C）

A．（－1，1）                B．（0，1） 

C．（－1，0）（0，1）      D．（－，－1）（1，＋）

3．（陕西）已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为 （B）

    （Ａ）8　　　　（Ｂ）6　　　　（C）4　　　　（D）2

4．（重庆）若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（  A ）

    A．          B．

    C．                          D．2

5．(重庆）一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是      （  C ）

   A．           B．         C．         D．

6、(浙江卷)已知则不等式≤5的解集是          .

★★★高考要考什么

不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题.

★     ★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数。

（1）求的值；

（2）当满足时，求函数的最小值。

解：（1）由已知得

于是

（2）由

即

由于，其中等号当且仅当x+2=1，即x=－1时成立，

∴时的最小值是－3.

【范例2】已知a，b，c是实数，函数f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，当－1≤x≤1时|f(x)|≤1.

(1)证明：|c|≤1；

(2)证明：当－1 ≤x≤1时，|g(x)|≤2；

(3)设a＞0，有－1≤x≤1时， g(x)的最大值为2，求f(x).

命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属较难题目.

知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.

错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“－1≤x≤1时|f(x)|≤1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局.

技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与f(x)的关系.

(1)证明：由条件当=1≤x≤1时，|f(x)|≤1，取x=0得：|c|=|f(0)|≤1，即|c|≤1.

(2)证法一：依题设|f(0)|≤1而f(0)=c，所以|c|≤1.当a＞0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是增函数，于是

g(－1)≤g(x)≤g(1)，(－1≤x≤1).

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，|c|≤1，

∴g(1)=a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|=2，

g(－1)=－a+b=－f(－1)+c≥－(|f(－2)|+|c|)≥－2，

因此得|g(x)|≤2  (－1≤x≤1)；

当a＜0时，g(x)=ax+b在［－1，1］上是减函数，于是g(－1)≥g(x)≥g(1)，(－1≤x≤1)，

∵|f(x)|≤1  (－1≤x≤1)，|c|≤1

∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2.

综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g(x)|≤2.

证法二：∵|f(x)|≤1(－1≤x≤1)

∴|f(－1)|≤1，|f(1)|≤1，|f(0)|≤1，

∵f(x)=ax²+bx+c，∴|a－b+c|≤1，|a+b+c|≤1，|c|≤1，

因此，根据绝对值不等式性质得：

|a－b|=|(a－b+c)－c|≤|a－b+c|+|c|≤2，

|a+b|=|(a+b+c)－c|≤|a+b+c|+|c|≤2，

∵g(x)=ax+b，∴|g(±1)|=|±a+b|=|a±b|≤2，

函数g(x)=ax+b的图象是一条直线，因此|g(x)|在［－1，1］上的最大值只能在区间的端点x=－1或x=1处取得，于是由|g(±1)|≤2得|g(x)|≤2，(－1＜x＜1.

当－1≤x≤1时，有0≤≤1，－1≤≤0，

∵|f(x)|≤1，(－1≤x≤1)，∴|f |≤1，|f()|≤1；

因此当－1≤x≤1时，|g(x)|≤|f |+|f()|≤2.

(3)解：因为a＞0，g(x)在［－1，1］上是增函数，当x=1时取得最大值2，即

g(1)=a+b=f(1)－f(0)=2.                                                  ①

∵－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1，∴c=f(0)=－1.

因为当－1≤x≤1时，f(x)≥－1，即f(x)≥f(0)，

根据二次函数的性质，直线x=0为f(x)的图象的对称轴，

由此得－＜0 ，即b=0.

由①得a=2，所以f(x)=2x²－1.

【范例3】已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为.数列的前项和为，点均在函数的图像上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.

点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。

解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax²+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x－2,得

a=3 ,  b=－2, 所以  f(x)＝3x²－2x.

又因为点均在函数的图像上，所以＝3n²－2n.

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝（3n²－2n）－＝6n－5.

当n＝1时，a₁＝S₁＝3×1²－2＝6×1－5，所以，a_n＝6n－5 （）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，

故T_n＝＝＝（1－）.

因此，要使（1－）<（）成立的m,必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10.