直线和圆的方程(教师版)

★★★高考在考什么

【考题回放】

1．全国Ⅰ）已知直线过点（－2，0），当直线与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是   （　C  ）

    A．)　   　B．　    C．（）　      D．（）

2．（大连检测）从点P(m,3)向圆C：      ，引切线，则切线长的最小值为（A ）

    A．2          B．                 C．               D．5

3．(江西高考)为双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和

上的点，则的最大值为                                            （ D  ）

A．6                 B．7               C．8               D．9

4．(天津高考)设直线与圆相交于A、B两点，且弦AB的长为，则。（0）

5．如果实数满足条件，那么的最大值为_______。(1)

6．过点(1,2)总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围____

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★     ★★热点透析

直线与圆在高考中主要考查三类问题：

一.基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：

1）与直线方程特征值（主要指斜率，截距）有关的问题；

2）直线的平行和垂直的条件；

3）与距离有关的问题等。

此类题目大都属于中、低档题，以选择题和填空题形出现；

二.直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；

三.线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大

★★★ 突 破 重 难 点

【范例1】已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为求直线PN的方程

解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，

即．

整理得  x²+y²－6x+1=0．      ①

因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，

所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，

直线PM的方程为y=±（x＋1）．②

将②式代入①式整理得x²－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．

代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；

（2＋，－1－）或（2－，1－）．

直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．

【范例2】已知点A(-1,1),B(1,1),点P是直线=-2上的一点，满足∠APB最大，求点P的坐标及∠APB的最大值.?

解：设P（，－2），则k_AP＝，

当＜3时，

tanAPB＝≤1

当且仅当3－＝，即＝1时等号成立，?又当

∴P是(1,-1)时，∠APB有最大值；

当＞3时，同法可求∠APB的最大值是arctan

结论：当P点的坐标是（－1，1）时，∠APB有最大值

变式：过点作两条互相垂直的直线，分别交的正半轴于，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程.(x+2y-5=0和2x+y-4=0)

【范例3】已知点，是抛物线上的两个动点，O是坐标原点，向量满足设圆C的方程为

,证明：1）求圆心C的规迹方程；2）当圆C的圆心到直线的距离的最小值为时，求p的值。

解：设圆C的圆心为C(x,y)，则,

又,

,=所以圆心的轨迹方程为：

2）设圆心C到直线的距离为d,则，所以当,d有最小值，由题设，所以p=2

变式：已知P是直线上的动点，PA、PB是圆的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。

解：点P在直线上，所以设，C点坐标为(1,1)

=2=四边形PACB的面积最小，而|PC|=，所以|PC|最小为3，所以最小为

变式：一束光线通过点射到x轴上，再反射到圆C：上，求反射光线在x轴上的活动范围。（反射点在）