电磁感应中的力学问题

    电磁感应中中学物理的一个重要“节点”，不少问题涉及到力和运动、动量和能量、电路和安培力等多方面的知识，综合性强，也是高考的重点和难点，往往是以“压轴题”形式出现．因此，在二轮复习中，要综合运用前面各章知识处理问题，提高分析问题、解决问题的能力．

　　本学案以高考题入手，通过对例题分析探究，让学生感知高考命题的意图，剖析学生分析问题的思路，培养能力．

    例1.如右图所示，两根平行金属导端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，两导轨间的距离l=0.20 m．有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面，已知磁感应强度B与时间t的关系为B=kt，比例系数k＝0.020 T／s．一电阻不计的金属杆可在导轨上无摩擦地滑动，在滑动过程中保持与导轨垂直．在t=0时刻，轨固定在水平桌面上，每根导轨每m的电阻为r₀＝0.10Ω／m，导轨的金属杆紧靠在P、Q端，在外力作用下，杆恒定的加速度从静止开始向导轨的另一端滑动，求在t＝6.0 s时金属杆所受的安培力．

   [解题思路]  以a示金属杆运动的加速度，在t时刻，金属杆与初始位置的距离L＝at²

    此时杆的速度v＝at

    这时，杆与导轨构成的回路的面积S=Ll

回路中的感应电动势E＝S＋Blv

而

    回路的总电阻  R＝2Lr₀

    回路中的感应电流，

    作用于杆的安培力F＝BlI

    解得

代入数据为F＝1.44×10^-3N

例2．如右上图所示，一对平行光滑R轨道放置在水平地面上，两轨道间距L＝0.20 m，电阻R＝1.0 Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆与轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感强度B＝0.50T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下．现用一外力F沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动．测得力F与时间t的关系如下图所示．求杆的质量m和加速度a．

解析：导体杆在轨道上做匀加速直线运动，用v表示其速度，t表示时间，则有v＝at   ①

 杆切割磁感线，将产生感应电动势E＝BLv    ②

    在杆、轨道和电阻的闭合回路中产生电流I=E/R     ③

    杆受到的安培力为F_安=IBL              ④

根据牛顿第二定律，有F－F_安＝ma　　　　⑤

联立以上各式，得　　　　　⑥

由图线上各点代入⑥式，可解得

a＝10m/s²，m＝0.1kg

例3． 两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感强度B＝0.05T的匀强磁场与导轨所在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计．导轨间的距离l＝0.20 m．两根质量均为m＝0.10 kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R＝0.50Ω．在t＝0时刻，两杆都处于静止状态．现有一与导轨平行、大小为0.20 N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在导轨上滑动．经过t＝5.0s，金属杆甲的加速度为a＝1.37 m／s，问此时两金属杆的速度各为多少?

本题综合了法拉第电磁感应定律、安培力、左手定则、牛顿第二定律、动量定理、全电路欧姆定律等知识，考查考生多角度、全方位综合分析问题的能力．

设任一时刻t，两金属杆甲、乙之间的距离为x，速度分别为v_l和v₂，经过很短的时间△t，杆甲移动距离v₁△t，杆乙移动距离v₂△t，回路面积改变

    △S＝[(x一ν₂△t)+ν₁△t]l―lχ＝(ν₁-ν₂) △t

    由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势

    E＝B△S/△t＝Bι(ν_l一ν₂)

    回路中的电流

    i＝E／2 R

    杆甲的运动方程

    F―Bli＝ma

    由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等、方向相反，所以两杆的动量(t＝0时为0)等于外力F的冲量．

   Ft＝mν_l＋mν₂

    联立以上各式解得

    ν₁＝[Ft/m＋2R(F一ma)／B²l²]／2

ν₂＝[Ft／m一2R(F一ma)／B²l²]／2

    代入数据得移ν_l＝8.15 m／s，v₂＝1.85 m／s

练习

1、．如图l，ab和cd是位于水平面内的平行金属轨道，其电阻可忽略不计．af之间连接一阻值为R的电阻．ef为一垂直于ab和cd的金属杆，它与ab和cd接触良好并可沿轨道方向无摩擦地滑动．ef长为l，电阻可忽略．整个装置处在匀强磁场中，磁场方向垂直于图中纸面向里，磁感应强度为B，当施外力使杆ef以速度v向右匀速运动时，杆ef所受的安培力为( A   )．

                图1                       图2

2、如图2所示?两条水平虚线之间有垂直于纸面向里、宽度为d、磁感应强度为B的匀强磁场．质量为m、电阻为R的正方形线圈边长为L(L<d)，线圈下边缘到磁场上边界的距离为h．将线圈由静止释放，其下边缘刚进入磁场和刚穿出磁场时刻的速度都是v₀在整个线圈穿过磁场的全过程中(从下边缘进入磁场到上边缘穿出磁场)，下列说法中正确的是( D )．

A?线圈可能一直做匀速运动 

B．线圈可能先加速后减速

C．线圈的最小速度一定是mgR／B² L²

D．线圈的最小速度一定是            

3、如图3所示，竖直放置的螺线管与导线abed构成回路，导线所围区域内有一垂直纸面向里的变化的匀强磁场，螺线管下方水平面桌面上有一导体圆环．导线abcd所围区域内磁场的磁感强度按图1 5―11中哪一图线所表示的方式随时问变化时，导体圆环将受到向上的磁场力作用?( A   )．

图3           A              B              C           D

4、如图4所示，磁感应强度的方向垂直于轨道平面倾斜向下，当磁场从零均匀增大时，金属杆ab始终处于静止状态，则金属杆受到的静摩擦力将( D )．

  A．逐渐增大

  B．逐渐减小

  C．先逐渐增大，后逐渐减小

  D．先逐渐减小，后逐渐增大

图4

5、如图所示，一闭合线圈从高处自由落下，穿过一个有界的水平方向的匀强磁场区(磁场方向与线圈平面垂直)，线圈的一个边始终与磁场区的边界平行，且保持竖直的状态不变．在下落过程中，当线圈先后经过位置I、Ⅱ、Ⅲ时，其加速度的大小分别为a₁、a₂、a₃( B )．

A． a₁<g，a₂=g，a₃<g    B．a_l<g，a₂<g，a₃<g

C． a₁<g,a₂=0,a₃=g      D．a₁<g，a₂>g，a₃<g

             图5                      图6

6、如图6所示，有两根和水平方向成a角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感强度为B．一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度Vm ,则( BC  )．

  A．如果B增大，Vm将变大    B．如果a变大， Vm将变大

  C．如果R变大，Vm将变大    D．如果M变小，Vm将变大

7、超导磁悬浮列车是利用超导体的抗磁作用使列车车体向上浮起，同时通过周期性地变换磁极方向而获得推进动力的新型交通工具．其推进原理可以简化为如图6所示的模型：在水平面上相距L的两根平行直导轨问，有竖直方向等距离分布的匀强磁场B₁和B₂，且B₁=B₂=B，每个磁场的宽都是ι，相间排列，所有这些磁场都以速度V向右匀速运动．这时跨在两导轨间的长为L、宽为ι的金属框abcd(悬浮在导轨上方)在磁场力作用下也将会向右运动．设金属框的总电阻为R，运动中所受到的阻力恒为f，则金属框的最大速度可表示为(   C )．

                        图7

A、             B、 

C、           D、

8、水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆(见图)，金属杆与导轨的电阻不计；均匀磁场竖直向下．用与导轨平行的恒定力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动．当改拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会改变，v和F的关系如图 (取重力加速度g=10m／s ²)

(1)金属杆在匀速运动之前做作什么运动?

(2)若m＝0.5 kg，L＝0.5 m，R＝0.5 Ω，磁感应强度B为多大?

(3)由ν－F图线的截距可求得什么物理量?其值为多少?

解： (1)变速运动(或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动)．

(2)感应电动势E―vBL，感应电流I=E/R

安培力

由图可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零

由图线可以得到直线的斜率k=2

(3)由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f，　　　   f=2(N)．

若金属杆受到的阻力仅为动摩擦力，由截距可求得动摩擦因数　　　μ=0.4

9、如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L，M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下，导轨和金属杆的电阻可忽略?让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．

    (1)由b向a方向看到的装置如图1 5―2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；

    (2)在加速下滑过程中，当杆ab的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；

    (3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．

解：(1)重力mg，竖直向下；支撑力N，，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上．

(2)当ab杆速度为v时，感应电动势E=BLv，此时电路电流

杆受到安培力

根据牛顿运动定律，有：       

(3)当时，ab杆达到最大速度

10．如图所示，电阻不计的平行金属导轨MN和OP水平放置，MO间接有阻值为R的电阻，导轨相距为d，其间有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B．质量为m、电阻为r的导体棒CD垂直于导轨放置，并接触良好．用平行于MN的恒力F向右拉动CD，CD受恒定的摩擦阻力．f，已知F>f．问：

 (1)CD运动的最大速度是多少?

 (2)当CD达到最大速度后，电阻R消耗的电功率是多少?

(3)当CD的速度是最大速度的1/3时，CD的加速度是多少?

解析：(1)以金属棒为研究对象，当CD受力：F=F_A+f时，CD速度最大，

即：

(2)CD棒产生的感应电动势为：

回路中产生的感应电流为：

则R中消耗的电功率为：

(3)当CD速度为最大速度的1/3即时，CD中的电流为最大值的1/3即则CD棒所受的安培力为：

 CD棒的加速度为：