电磁感应中的能量

重点难点

   1．分清能量转化的关系：导体棒中的感应电流在磁场中受到安培力作用，如果该安培力做负功，是把其他形式的能量转化为电能；如果安培力做正功，是把电能转化为其他形式能量．

2．有效值问题：当线框在磁场中转动切割匀强磁场磁感线或导体棒以简谐运动切割磁感线时，产生的电能、热能等都应以有效值进行运算．

3．电量的计算：当导体棒只受安培力作用时，安培力对棒的冲量为：F_安?t = BIlt，其It即为该过程中电磁感应时通过导体的电量q，即安培力冲量为Bql．当两个过程中磁通量φ变化量Δφ相同时，由q = 可知此时通过的电量也相同，安培力冲量也相同．

规律方法

【例1】如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面，导轨上横放着两根相同的导体棒ab、cd与导轨构成矩形回路，导体棒的两端连接着处于压缩状态的两根轻质弹簧，两棒的中间用细线绑住，它们的电阻均为R，回路上其余部分的电阻不计，在导轨平面内两导轨间有一竖直向下的匀强磁场，开始时，导体棒处于静止状态，

剪断细线后，导体棒在运动过程中        （ AD ）

A．回路中有感应电动势?

B．两根导体棒所受安培力的方向相同?

C．两根导体棒和弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒?

D．两根导体棒的弹簧构成的系统动量守恒，机械能不守恒?

训练题两根光滑的金属导轨，平行放置在倾角为θ的斜面上，导轨的左端接有电阻R，导轨的电阻可忽略不计，斜面处在一匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上，质量为m，电阻可不计的金属棒ab，在沿着斜面与棒垂直的恒力F作用下沿导轨匀速上滑，并上升高度h，如图所示，在这个过程中（  A  ）

A．作用在金属棒上的各个力的合力所做功等于零?

B．作用在金属棒上的各个力的合力所做的功等于mgh与电阻R上发出的焦耳热之和?

C．恒力F与安培力的合力所做的功等于零?

D．恒力F与重力的合力所做的功大于电阻R上发出的焦耳热?

【例2】如图所示，固定的水平金属导轨，间距为L，左端接有阻值为R的电阻，处在方向竖直、磁感应强度为B的匀强磁场中，质量为m的导体棒与固定弹簧相连，放在导轨上，导轨与导体棒的电阻均可忽略?初始时刻，弹簧恰处于自然长度?导体棒具有水平向右的初速度υ₀在沿导轨往复运动的过程中，导体棒始终与导轨垂直并保持良好接触．（1）求初始时刻导体棒受到的安培力；（2）若导体棒从初始时刻到速度第一次为零时，弹簧的弹性势能为E_p，则这一过程中安培力所做的功W₁和电阻上产生的焦耳热Q₁分别为多少？（3）导体棒往复运动，最终将静止于何处？从导体棒开始运动直到最终静止的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q为多少？?

【解析】导体棒以初速度υ₀做切割磁感线运动而产生感应电动势，回路中的感应电流使导体棒受到安培力的作用?安培力做功使系统机械能减少，最终将全部机械能转化为电阻R上产生的焦耳热．由平衡条件知，棒最终静止时，弹簧的弹力为零，即此时弹簧处于初始的原长状态．

（1）初始时刻棒中产生的感应电动势?

E = BLυ_o                                                                                                                 ①?

棒中产生的感应电流I =                                                                                  ②?

作用于棒上的安培力F = BIL                                                                               ③?

联立①②③，得F = ，安培力方向：水平向左??

（2）由功和能的关系，得:安培力做功W₁ = E_p-mυ?

电阻R上产生的焦耳热Q₁ = mυ-E_P?

（3）由能量转化及平衡条件等，可判断：棒最终静止于初始位置?

Q = mυ?

训练题如图所示，间距为l的光滑平行金属导轨，水平地放置在竖直方向的磁感应强度为B的匀强磁场中，一端接阻值为R的电阻，一电阻为R₀质量为m的导体棒放置在导轨上，在外力F作用下从t = 0的时刻开始运动，其速度随时间的变化规律υ = υ_msinωt，不计导轨电阻，求：

（1）从t₁ = 0到t₂ = 2π/ω时间内电阻R产生的热量．

（2）从t₁ = 0到t₃ = 时间内外力F所做的功．

答案：（1）Q=πB²l²v_m²R/ω（R₀+R）²

       （2）W=mv_m²/2 + πB²l²v_m²/4ω（R₀+R）

【例3】如图所示a₁b₁c₁d₁和a₂b₂c₂d₂为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里，导轨的a₁b₁段与a₂b₂段是竖直的，距离为l₁；c₁d₁段与c₂d₂段也是竖直的，距离为l₂?x₁y₁与x₂y₂为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m₁和m₂，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触．两杆与导轨构成的回路的总电阻为R．F为作用于金属杆x₁y₁上的竖直向上的恒力．已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用在两杆上的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率．

【解析】设杆向上运动的速度为υ，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少?由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小E = B（l₂-l₁）υ，回路中的电流I = ，电流沿顺时针方向?两金属都要受到安培力的作用，作用于杆x₁y₁的安培力为f₁ = Bl₁I，方向向上，作用于杆x₂y₂的安培力f₂ = Bl₂I，方向向下?当杆做匀速动动时，根据牛顿第二定律有F-m₁g-m₂g+f₁-f₂ = 0，解以上各式，得?

I =           υ = R                                        ?

作用于两杆的重力的功率的大小P =（m₁+m₂）gu        电阻上的热功率Q = I²R       ?

得    P = R（m₁+m₂）g?          Q = []²R?

训练题如图，两根金属导轨与水平面成30°平行放置，导轨间距0．5m，导轨足够长且电阻不计，两根金属棒MN、PQ垂直导轨放置，由于摩擦，MN、PQ均刚好保持静止，两棒质量均为0．1kg，电阻均为0．1Ω，它们与导轨间动摩擦因素均为μ = ，空间有垂直导轨平面的匀强磁场，磁感应强度B = 0.4T现用沿导轨平面向上的力F = 1．2N垂直作用力于金属棒MN，取g = 10m/s²，试求：

（1）金属棒MN的最大速度；

（2）金属棒MN运动达到稳定状态后，1s内外力F做的功，并计算说明能量的转化是否守恒．

答案：（1）v_m=2m/s

（2）W=2．4J

能力训练

1．如图水平光滑的平行金属导轨，左端与电阻R相连接，匀强磁场B竖直向下分布在导轨所在的空间内，质量一定的金属棒垂直搁在导轨上，令棒以一定的初速度向右运动，当其通过位置a时速率为υ_a，通过位置b时速率为υ_b，到位置C时棒刚好静止，设导轨与棒的电阻均不计，a、b与b、c的间距相等，则关于金属棒由a到b和由b到c的两个过程中，以下说法正确的是       （ D ）

A．通过棒截面的电量不相等?

B．棒运动的加速度相等?

C．棒通过a、b两位置时的速率关系为υ_a＞2υ_b?

D．回路中产生的电能E_ab与E_bc的关系为：E_ab = 3E_bc?

2．如图所示，ab、cd为两根水平放置且相互平行的金属轨道，相距L，左右两端各连接一个阻值均为R的定值电阻，轨道中央有一根质量为m的导体棒MN垂直放在两轨道上，与两轨道接触良好，棒及轨道的电阻不计，整个装置处于垂直纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．棒MN在外驱动力作用下做简谐运动，其振动周期为T，振幅为A，通过中心位置时的速度为υ₀，则驱动力对棒做功的平均功率为  （ B  ）?

A．      B． ?  

C．     D． ?

3．一电阻为R的金属圆环，放在匀强磁场中，磁场与圆环所在平面垂直，如图(a)所示．已知通过圆环的磁通量随时间t的变化关系如图(b)所示，图中的最大磁通量φ₀和变化周期T  都是已知量，求

    (1)在t= 0到t=T/4的时间内，通过金属圆环某横截面的电荷量q．

    (2)在t= 0到t=2T的时间内，金属环所产生的电热Q．

    答案：(1)在t=0到时间内，环中的感应电动势     E₁=                     

    在以上时段内，环中的电流为      I ₁=            

    则在这段时间内通过金属环某横截面的电量  q= I ₁ t          

    联立求解得                   

    (2)在到和在到t =T时间内，环中的感应电动势   E ₁= 0     

    在和在时间内，环中的感应电动势    E ₃=   

    由欧姆定律可知在以上时段内，环中的电流为    I ₃ =     

    在t=0到t=2T时间内金属环所产生的电热      Q=2(I ₁² R t ₃+ I ₃² R t ₃)    

    联立求解得      Q=    

4．平行轨道PQ、MN两端各接一个阻值R₁＝R₂＝8的电阻，轨道间距L＝1m，轨道很长，本身电阻不计。轨道间磁场按如图所示的规律分布，其中每段垂直纸面向里和向外的磁场区域宽度均为2cm，磁感应强度的大小均为B＝1T，每段无磁场的区域宽度均为1cm，导体棒ab本身电阻r＝1，与轨道接触良好。现使ab以v＝10m/s向右匀速运动。求：

⑴当导体棒ab从左端进入磁场区域时开始计时，设电流方向从a流向b为正方向，请画出流过导体棒ab的电流随时间变化关系的i―t图象。

⑵整个过程中流过导体棒ab的电流为交变电流，求出流过导体棒ab的电流有效值。

答案：⑴ab在两磁场中切割磁场产生的电动势E＝BLV＝10（V）　

        则ab中的感应电流大小均为（A）　

       流过导体棒ab的电流随时间变化规律如图所示

   ⑵由电流图象得流过ab棒的电流周期为T＝6×10^－3s

由     　

5．如图所示，光滑平行的金属导轨MN、PQ相距l，其框架平面与水平面成θ角，在M点和P点间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间OO₁O₁′O′矩形区域内有垂直导轨平面向下、宽为d的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电阻为r的导体棒ab，垂直搁置于导轨上，与磁场上边界相距d₀，现使它由静止开始运动，在棒ab离开磁场前已经做匀速直线运动（棒ab与导轨始终保持良好的接触，导轨电阻不计）。求：

⑴棒ab在离开磁场下边界时的速度；

⑵棒ab通过磁场区的过程中整个电路所消耗的电能。

答案：⑴导体棒ab切割磁感线产生的电动势E＝BLv

产生的电流为

导体棒受到的安培力为 F＝BIl　

导体棒出磁场时作匀速运动，受力平衡，即mgsinθ＝F

联立解得  

   ⑵由能量转化守恒得E_电＝E_G－E_K

即E_电＝＝

6．如图光滑斜面的倾角α＝30°，在斜面上放置一矩形线框abcd，ab边的边长l₁＝1m，bc边的边l₂＝0.6m，线框的质量m＝1kg，电阻R＝0.1Ω，线框通过细线与重物相连，重物质量M＝2kg，斜面上ef线（ef∥gh）的右方有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度Ｂ＝0.5T，如果线框从静止开始运动，进入磁场最初一段时间是匀速的，ef线和gh线的距离s＝11.4m，（取g＝10m/s²），求：

⑴线框进入磁场时匀速运动的速度v；

⑵ab边由静止开始运动到gh线所用的时间t；

⑶t时间内产生的焦耳热．

答案：⑴因为线框进入磁场的最初一段时间做匀速运动，所以重物受力平衡     

线框abcd受力平衡   

ab边进入磁场切割磁感线，产生的电动势     

形成的感应电流         受到的安培力         

联立得：      解得　　　　

⑵线框abcd进磁场前时，做匀加速直线运动；进磁场的过程中，做匀速直线运动；进入磁场后到运动到gh线，仍做匀加速直线运动。

进磁场前   对M                      对m 

联立解得：         该阶段运动时间为     

进磁场过程中   匀速运动时间           

进磁场后   线框受力情况同进磁场前，所以该阶段的加速度仍为

             解得：               

因此ab边由静止开始运动到gh线所用的时间 

⑶ J     

7．如图所示，水平固定的光滑U形金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一阻值为R的电阻（金属框架、金属棒及导线的电阻匀可忽略不计），整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B．现给棒ab一个初速度υ₀，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图甲所示．?

（1）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中，求通过电阻R的电量和电阻R中产生的热量；?

（2）金属棒从开始运动到达到稳定状态的过程中求金属棒通过的位移；?

（3）如果将U形金属框架左端的电阻R换为一电容为C的电容器，其他条件不变，如图乙所示．求金属棒从开始运动到达到稳定状态时电容器的带电量

和电容器所储存的能量（不计电路向外界辐射的能量）．?

答案：（1）由动量定理得    即    所以

由能量守恒定律得    

（2）          所以

（3）当金属棒ab做切割磁力线运动时，要产生感应电动势，这样，电容器C将被充电，ab棒中有充电电流存在，ab棒受到安培力的作用而减速，当ab棒以稳定速度v匀速运动时，有：

BLv=U_C=

而对导体棒ab利用动量定理可得：   -BL=mv-mv₀

由上述二式可求得：     

8．如图所示，两条光滑的绝缘导轨，导轨的水平部分与圆弧部分平滑连接，两导轨间距为L，导轨的水平部分有n段相同的匀强磁场区域（图中的虚线范围），磁场方向竖直向上，磁场的磁感应强度为B，磁场的宽度为S，相邻磁场区域的间距也为S，S大于L，磁场左、右两边界均与导轨垂直。现有一质量为m，电阻为r，边长为L的正方形金属框，由圆弧导轨上某高度处静止释放，金属框滑上水平导轨，在水平导轨上滑行一段时间进入磁场区域，最终线框恰好完全通过n段磁场区域。地球表面处的重力加速度为g，感应电流的磁场可以忽略不计，求：

（1）刚开始下滑时，金属框重心离水平导轨所在平面的高度．

（2）整个过程中金属框内产生的电热．

（3）金属框完全进入第k（k＜n）段磁场区域前的时刻，金属框中的电功率．

答案：（1）设金属框在进入第一段匀强磁场区域前的速度为v₀，金属框在进入和穿出第一段匀强磁场区域的过程中，线框中产生平均感应电动势为

平均电流强度为（不考虑电流方向变化）  

由动量定理得：　　

同理可得：　　　　

　　　　　　　　　　　……

整个过程累计得：　　

解得：　　　　　　　

金属框沿斜面下滑机械能守恒：　         

（2）金属框中产生的热量Q＝mgh        Q＝

（3）金属框穿过第（k－1）个磁场区域后，由动量定理得：

金属框完全进入第k个磁场区域的过程中，由动量定理得：　　

解得：　　.      功率：