电磁感应中求电量的策略

1.用法拉第电磁感应定律

由闭合电路欧姆定律得

由法拉第电磁感应定律得

所以           

例1  放在绝缘水平面上的两条平行导轨MN和PQ之间宽度为L，置于磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向垂直于导轨平面，导轨左端接有阻值为R的电阻，其它部分电阻不计．导轨右端接一电容为C的电容器，长为2L的金属棒放在导轨上与导轨垂直且接触良好，其a端放在导轨PQ上．现将金属棒以a端为轴，以角速度沿导轨平面顺时针旋转角，如图1所示．求这个过程中通过电阻R的总电量是多少？（设导轨长度比2L长得多）

分析  从ab棒开始旋转，直到b端脱离导轨的过程中，其感应电动势不断增大，对C不断充电，同时又与R构成回路．通过R的电量为

式中ΔS等于ab所扫过的三角形aDb’的面积，如图2中虚线所示．所以

所以   

当ab棒运动到b’时，电容C上所带电量为，此时，

而      ，

所以                  .

当ab脱离导轨后，C对R放电，通过R的电量为q’，所以整个过程中通过R的总电量为

.

2.用动量定理

在金属棒只受到安培力时，由动量定理得

，其中安培力.

所以    

例2  如图3所示，长为L，电阻r=0.3Ω、质量m=0.1kg的金属棒CD垂直跨搁在位于水平面上的两条平行光滑金属导轨上．两条轨间距也是L，棒与导轨间接触良好，导轨电阻不计，导轨左端接有R=0.5Ω的电阻，量程为0~3.0A的电流表串接在一条导轨上，量程为0~1.0V的电压表接在电阻R的两端，垂直导轨平面的匀强磁场向下穿过平面．现以向右恒定外力F使金属棒右移，当金属棒以v=2m/s的速度在导轨平面上匀速滑动时，观察到电路中的一个电表正好满偏，而另一个电表未满偏，问：

（1）此满偏的电表是什么表？说明理由．

（2）拉动金属棒的外力F多大？

（3）此时撤去外力F，金属棒将逐渐慢下来，最终停止在导轨上，求从撤去外力到金属棒停止运动的过程中通过电阻R的电量．    （99年上海）

分析  （1）若电流表满偏，则

U=IR=3.0A×0.5Ω= 1.5V，

大于电压表量程，所以应是电压表满偏．

（2）金属棒匀速滑动时，有

F=F_安,

其中    F_安=BIL。

而             U=R=R，

得               ，

所以              .

代入数据得            F=1.6N.

（3）由电磁感应定律得     ，

由闭合电路欧姆定律得       ，

所以    ,

代入数据得    q=0.25C.

3.用微积分思想

例3  如图4所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度T，OCA导轨与OA直导轨分别在O点和A点接一阻值和几何尺寸可忽略的定值电阻，导轨OCA的曲线方程为（m）．金属棒ab长1.5米，以速度m/s水平向右匀速运动（b点始终在x轴上）．设金属棒与导轨接触良好，摩擦不计，电路中除了电阻R₁和R₂外，其余电阻均不计，曲线OCA与x轴之间所围面积约为1.9m²，求：

（1）金属棒在导轨上运动从到m的过程中通过金属棒ab的电量；

（2）金属棒在导轨上运动从到m的过程中，外力必须做多少功？

分析 （1）将OA分成n份长度为Δx的小段，每一小段中金属棒的有效长度可认为是一定的，设为．金属棒向右匀速运动，设每通过Δx的位移所用的时间为Δt．通过的电量为

，

其中为金属棒每通过Δx的所扫过的有效面积，设为，所以.

金属棒在导轨上从运动到的过程中，通过金属棒ab的电量为

.

式中S即为曲线OCA与x轴之间所围的面积，代入数据得    C.

（2）因为 ，

所以ab棒产生的是正弦式交变电流，且V.由得，金属棒在导轨上从到的过程中，₁、R₂产生的热量

，

式中x_m为OA的长度.

由“功是能量转化的量度”有

，

代入数据得              J.

在求解电量的习题中，常常有同学利用回路中产生的热量求出电流，继而求得电量，这种解法在电流的有效值不等于平均值的情况下是错误的．例如，我们就不能利用本题第（1）问中的电量和求出电流，再用焦耳定律求产生的热量．

例2中的第（3）问也可以运用微积分思想解答，同学们不妨一试．