安徽省巢湖市2009年高三第二次教学质量检测

数学(理科)试题

 

命题人:   庐江二中   孙大志      柘皋中学   孙  平       巢湖四中   胡善俊

 

参考公式:

1.球的表面积公式,其中表示球的半径.

2.球的体积公式,其中表示球的半径.

3.柱体的体积公式 ,其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.

4.锥体的体积公式 ,其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.

5. 线性回归方程中的的计算公式.

 

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,

1.设集合,则为                                                                    

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A.       B.     C.     D.

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2. 等差数列的前项和为,若 ,则                             

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

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3. 函数的最小正周期为,且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图象                        

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A.关于点对称                 B.关于直线对称

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C.关于点对称                D.关于直线对称

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4.  已知为直线,为平面,则下列命题中真命题的是

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A.            B. ,则   

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C.            D.

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5.已知双曲线以坐标原点为顶点,以曲线的顶点为焦点的抛物线与曲线渐近线的一个交点坐标为(4,4),则双曲线的离心率为                

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A.               .              C.               D.  

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6. 下列结论:

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 ①周期为的必要条件;

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    ②

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    ③“,使得”是假命题,则

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④某校在巢湖市第一次教学质量检测中的数学成绩服从正态分布,则.

其中正确的是                                                         

A. ②③        B.③④        C. ①②③        D. ①②③④

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7.已知向量的最小值为

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A. 1           B.          C.      D.

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8. 某厂一月份、二月份、三月份、四月份的利润分别为2、4、4、6(单位:万元),用线性回归分析估计该厂五月份的利润为                                       

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       A.6.5万元                B.7万元                C.7.5万元              D. 8万元

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9. 下图是把二进制的数化成十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是                                                               

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A.    B.     C.      D.

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10.关于的不等式的解集为,则实数的取值范围为   

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A          B.         C.           D.

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11.已知集合,集合,若向区域内投一点,则点落在区域内的概率为                    

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A.            B.            C.              D.

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12. 已知函数的定义域为导函数为,则满足的实数的取值范围为         

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A.   B.   C.   D.

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二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.

13.已知直线的极坐标方程为,圆的参数方程为,若以原点为极点,轴非负半轴为极轴,则直线被圆截得的弦长为                 .

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14. 如图是甲乙两同学在高三的5次月考成绩的茎叶图,         甲        乙

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根据茎叶图对甲乙两人的考试成绩作比较,请你写出               5   7

两个统计结论:                                         8  6  1   8   0  2  6  7

①                                                   ;        5   9   0

                                               .

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15. 二项式展开式中,前三项系数依次组成等差数列,则展开式中的常数项等于_              _.

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16.一个球的表面积为,则它的内接圆柱的体积的最大值是         .

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三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

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已知向量,设

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(Ⅰ)求函数 上的零点;

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(Ⅱ)设的内角的对边分别为,已知 ,求边的值.

 

 

 

 

 

 

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(Ⅰ)求三棱锥A-PDC的体积;

(Ⅱ)试在PB上求点M,使得CM∥平面PDA;

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(Ⅲ)  在BC边上是否存在点Q,使得二面角A-PD-Q为?若存在,确定点Q的位置;若不存在,请说明理由.

 

 

 

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19. (本小题满分12分)

    某社区举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖. 抽奖规则是:盒中装有10张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物)图案.参加者每次从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖.

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 (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡?主持人笑说:我只知道若从盒中抽两张都不是“海宝”卡的概率是.求抽奖者获奖的概率;

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(Ⅱ)现有甲乙丙丁四人依次抽奖,抽后放回,另一人再抽.用表示获奖的人数.求的分布列及

 

 

 

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20. (本小题满分12分)

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      圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线中,如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线:

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已知直线与曲线交于两点,的中点为,若直线(为坐标原点)的斜率都存在,则.

这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

(Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;

(Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:

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①     过点作直线与椭圆交于两点,求的中点的轨迹的方程;

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②     过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使点为线段的中点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.

 

 

 

 

 

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21.(本小题满分12分)

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已知函数.

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(Ⅰ)若处取得极值,求函数的单调区间;

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  (Ⅱ)求函数在区间的最大值.

 

 

 

 

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22. (本小题满分14分)

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已知数列满足, .

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(Ⅰ)若,证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;

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(Ⅱ)若,是否存在实数,使得对一切恒成立?若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由;

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(Ⅲ)当时,证明.

 

巢湖市2009届高三第二次教学质量检测

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一、 A C C D A  B D B A C    D C

二、13.   14. ①甲乙的平均数相同,均为85;② 甲乙的中位数相同,均为86;       ③乙的成绩较稳定,甲的成绩波动性较大;……       15.       16.

三、17(Ⅰ)

            =

            =

得,

.

故函数的零点为.       ……………………………………6分

(Ⅱ)由

.又

得 

         , 

                  ……………………………………12分

18. 由三视图可知:,底面ABCD为直角梯形,,PB=BC=CD=1,AB=2

                            …………3分

(Ⅱ) 当M为PB的中点时CM∥平面PDA.

取PB中点N,连结MN,DN,可证MN∥DN且MN=DN

∴CM∥DN,∴CM∥平面PDA                                …………6分

 (Ⅲ)分别以BC、BA、BP所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.

假设在BC边上存在点Q,使得二面角A-PD-Q为  

 

同理,,可得

=

解得………………………………………12分

19. (Ⅰ)设“世博会会徽”卡有张,由,得=6.

 故“海宝”卡有4张. 抽奖者获奖的概率为.                 …………6分

(Ⅱ)    的分布列为

  

1

2

3

4

 

p

                                                                         ………………………………12分

20. (Ⅰ)证明 设

相减得  

注意到  

有        

即                        …………………………………………5分

(Ⅱ)①设

由垂径定理,

即       

化简得  

轴平行时,的坐标也满足方程.

故所求的中点的轨迹的方程为

…………………………………………8分

②     假设过点P(1,1)作直线与有心圆锥曲线交于两点,且P为的中点,则

         

由于 

直线,即,代入曲线的方程得

         即    

          得.

故当时,存在这样的直线,其直线方程为

时,这样的直线不存在.        ………………………………12分

21. (Ⅰ)

得                   …………………………3分     

   

时,时,

故函数的单调增区间为,单调减区间为.   ………………………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)

得 

时,时,

处取得极大值,

……………………………………7分

(1)       当时,函数在区间为递减 ,

(2)     时,

(3)       当时,函数在区间为递增 ,

                                  

                                          ………………………………………12分

22. (Ⅰ)

         

              …………………………………6分

(Ⅱ)解法1:由,得

猜想时,一切恒成立.

①当时,成立.

②设时,,则由

=

*时,

由①②知时,对一切,有.   ………………………………10分

解法2:假设

,可求

故存在,使恒成立.            …………………………………10分

(Ⅲ)证法1:

,由(Ⅱ)知

                                     …………………………………14分

证法2:

猜想.数学归纳法证明

①当时,成立

②假设当时,成立

由①②对成立,下同证法1。

                                            …………………………………14分

 

 

 

 

 


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