安徽省巢湖市2009届高三第二次教学质量检测

数学(文科)试题

 

命题人:   庐江二中   孙大志     柘皋中学   孙  平     巢湖四中   胡善俊

 

参考公式:

1.球的表面积公式,其中表示球的半径.

2.球的体积公式,其中表示球的半径.

3.柱体的体积公式 ,其中表示柱体的底面积,表示柱体的高.

4.锥体的体积公式 ,其中表示锥体的底面积,表示锥体的高.

5.圆柱的表面积公式,其中表示圆柱的底面半径,表示圆柱的高.

6. 线性回归方程中的的计算公式.

 

 

    一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,

1. 已知集合等于        A.{5}   B.{2,8}      C.{1,3,7}    D.

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2. 已知复数,则对应的点在                             

A. 第一象限         B. 第二象限         C. 第三象限     D. 第四象限

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3. 等差数列的前项和为,若 ,则           

                       

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A.1004               B.2008               C.2009              D.2010

 

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4. 若abc为实数,则下列命题正确的是                                

A.若ab,则ac2bc2     B.若ab<0,则a2abb2

C.若ab<0,则<        D.若ab<0,则>   

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5.已知双曲线以坐标原点为顶点,以曲线的顶点为焦点的抛物线与曲线的渐近线的一个交点坐标为(4,4),则双曲线的离心率为                

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     A.              .              C.           D. A.    

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6. 下列结论 ;

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 ①已知命题R,,则R,

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 ②周期为的必要条件;

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③“,使得”是假命题,则

其中正确的是                                                     

A.            B. ①②         C. ②③           D. ①②③

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7. 函数的最小正周期为,且其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数的图象                             

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A.关于点对称                 B.关于直线对称

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C.关于点对称                D.关于直线对称

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8. 已知向量的最小值为

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A. 1           B.          C.      D.

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9. 下图是把二进制的数化成十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是                                                                  

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A.    B.     C.      D.

 

 

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10. 某厂一月份、二月份、三月份、四月份的利润分别为2、4、4、6(单位:万元),用线性回归分析估计该厂五月份的利润为                                    

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       A.6.5万元                B.7万元                C.7.5万元              D. 8万元

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11. 已知集合,集合,若向区域内投一点,则点落在区域内的概率为                       

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A.             B.              C.         D.

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12. 已知函数上的偶函数,且,当,则函数的零点个数                                (     )

       A.3                       B.4                        C.5                       D.6

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二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,满分16分.把答案填写在答题卷上相应的位置.只需写出最后结果,不必写出解题过程.

13.               .

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14. 直线被圆截得的弦长为                   .

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15. 圆柱的内切球与圆柱的上下底面和周壁都相切.若圆柱内切球的体积为,则  圆柱的表面积为               .

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16. 已知幂函数的图像过定点且点在直线的最小值为              .

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三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分12分)

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已知向量,设

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(Ⅰ)  求函数 上的零点;

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(Ⅱ)设的内角的对边分别为,已知 ,求边的值.

 

 

 

 

 

 

 

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  一个四棱锥的直观图和三视图如图所示:

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(Ⅰ) 求证:   AD⊥PD;

(Ⅱ) 若M为PB的中点 ,试判断直线CM与平面PDA是否平行,并说明理由 ;

(Ⅲ) 若PB=1,求三棱锥A-PDC的体积.

 

 

 

 

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 19. (本小题满分12分)

巢湖市教育局规定:初中升学须进行体育考试,总分30分,成绩计入初中毕业升学考试总分,还将作为初中毕业生综合素质评价“运动和健康”维度的实证材料.为了解九年级学生的体育素质,某校从九年级的六个班级共420名学生中按分层抽样抽取60名学生进行体育素质测试.

(Ⅰ) 若九(1)班现有学生70人,按分层抽样,则九(1)班应抽取学生多少人?

(Ⅱ)下列是九年级(1)、(2)班所抽取学生的体育测试成绩的茎叶图

 

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                                          九(1)         九(2)

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                                                   9    0

                                                        

                              3  2    6   5   1    1    6  4    5  6  3  0

                                                        

                                  1     5    0   3    2     1  0  3  4

 

根据茎叶图估计九(1)、九(2)班学生体育测试的平均成绩;

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(Ⅲ)已知另外四个班级学生的体育测试的平均成绩: 17.3  16.9  18.4  19.4.若从六个班级中任意抽取两个班级学生的平均成绩作比较,求平均成绩之差的绝对值不小于1的概率.

 

 

 

 

 

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20. (本小题满分12分)

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     圆、椭圆、双曲线都有对称中心,统称为有心圆锥曲线,它们统一的标准方程为.圆的很多优美性质可以类比推广到有心圆锥曲线. 如圆的“垂径定理”的逆定理:圆的平分弦(不是直径)的直径垂直于弦. 类比推广到有心圆锥曲线:

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已知直线与曲线交于两点,的中点为,若直线(为坐标原点)的斜率都存在,则.

这个性质称为有心圆锥曲线的“垂径定理”.

(Ⅰ)证明有心圆锥曲线的“垂径定理”;

(Ⅱ)利用有心圆锥曲线的“垂径定理”解答下列问题:

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①     过点作直线与椭圆交于两点,求的中点的轨迹的方程;

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②     过点作直线与有心圆锥曲线交于两点,是否存在这样的直线使的中点?若存在,求直线的方程;若不存在,说明理由.

 

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21. (本小题满分13分)

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已知函数.

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(Ⅰ)若函数的图像在处的切线与直线垂直,求函数的单调区间;

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  (Ⅱ)求函数的极值.

 

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22. (本小题满分13分)

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已知数列满足 .

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(Ⅰ)若,求数列的通项公式;

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(Ⅱ)若,设,求数列的前项和

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(Ⅲ)是否存在实数,使数列满足不等式恒成立?若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.

巢湖市2009届高三第二次教学质量检测

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一、 C B C B B AC D A B    C D

二、13.           14.              15.         16.3

三、17(Ⅰ)

            = =

得,

.

故函数的零点为.         ……………………………………6分

(Ⅱ)由

.又

       

         , 

                   ……………………………………12分

18. 由三视图可知:,底面ABCD为直角梯形,, BC=CD=1,AB=2

(Ⅰ)∵  PB⊥DA,梯形ABCD中,PB=BC=CD=1,AB=2 ∴BD=

又可得DA=,∴DA⊥BD ,∴DA⊥平面PDB,

∴  AD⊥PD                                   ……………………………4分

 

 (Ⅱ)  CM∥平面PDA  理由如下:

取PB中点N,连结MN,DN,可证MN∥CD且MN=CD,∴CM∥DN,∴CM∥平面PDA

                                                                 …………8分

 (Ⅲ)            

                                                            ……………12分

19. (Ⅰ)九年级(1)班应抽取学生10名; ………………………2分

(Ⅱ)通过计算可得九(1)班抽取学生的平均成绩为16.5,九(2)班抽取学生的平均成绩为17.2.由此可以估计九(1)班学生的平均成绩为16.5, 九(2)班学生的平均成绩为      17.2                                                     ………………………6分

(Ⅲ)基本事件总数为15,满足条件的事件数为9 ,故所求事件的概率为

………………………………12分

20. (Ⅰ)证明 设

相减得  

注意到  

有        

即                           …………………………………………5分

(Ⅱ)①设

由垂径定理,

即       

化简得  

轴平行时,的坐标也满足方程.

故所求的中点的轨迹的方程为

    …………………………………………8分

②      假设过点P作直线与有心圆锥曲线交于两点,且P为的中点,则

         

由于 

直线,即,代入曲线的方程得

             

            

故这样的直线不存在.                      ……………………………………12分

21.(Ⅰ)函数的定义域为

由题意易知,   得    ;

                             当时,时,

故函数的单调增区间为,单调减区间为.   …………………………6分

   (Ⅱ)

①     当时,递减,无极值.

②     当时,由

时,时,

时,函数的极大值为

;

函数无极小值.                                 …………………………13分

22.(Ⅰ)            

                          …………………………………………4分

(Ⅱ) ,

          ……………………………8分

 (Ⅲ)假设

,可求

故存在,使恒成立.

                                   ……………………………………13分

 

 

 

 


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