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    北京市西城区2009年3月高三抽样测试

          数学理科      2009.3

           本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。满分150分，考试时间120分钟。

    第I卷（选择题，共40分）

    一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

    2．若的     （    ）

    A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

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    3．已知函数的反函数. 若的图象过点（3，4），则a等于（    ）       A．  B．  C．  D．2

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    4．在正三棱锥P―ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：

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    ①；    ②AC//平面PDE；       ③.

    其中正确论断的个数为                     （    ）

           A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

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    5．若的值为    （    ）

           A．9      B．8       C．7       D．6

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    6．已知a，b是不共线的向量，R）那么A，B，C三点共线的充要条件为  （    ）

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           A．         B．        C．=－1         D．=1

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    7．设双曲线的半焦距为c，离心率为.若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰为c，则k等于                     （    ）

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    A． B．  C．      D．

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    8．如图，正五边形ABCDE中，若把顶点A、B、C、D、E染上

           红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不

           相同，则不同的染色方法共有      （    ）

           A．30种       B．27种      C．24种    D．21种

    第Ⅱ卷（非选择题，共110分）

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    二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.）

    9．设甲、乙、丙三个加工厂共生产玩具6000件，其中甲厂生产了1440件. 现采用分层抽样的方法从三个加工厂抽取一个容量为500件的样本进行质量检测，则应从甲加工厂抽取

                     件玩具.

    2,4,6

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    11．=          .

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    12．设R，函数的最小值是－2，则实数k=          .

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    13．已知正四棱柱ABCD―A1B1C1D1的底面ABCD边长为1，高AA1=，它的八个顶点都在同一球面上，那么球的半径是           ；A，B两点的球面距离为         .

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    14．按下列程序框图运算：

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           规定：程序运行到“判断结果是否大于244”为1次运算.

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           若x=5，则运算进行       次才停止；若运算进行k N*）次才停止，则x的取值范围是             .

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    三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

    15．（本小题满分12分）

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           已知为第二象限的角，为第三象限的角，.

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       （I）求的值.

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       （II）求的值.

    2,4,6

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    设甲、乙两套试验方案在一次试验中成功的概率均为p，且这两套试验方案中至少有一套试验成功的概率为0.51. 假设这两套试验方案在试验过程中，相互之间没有影响.

       （I）求p的值；

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       （II）设试验成功的方案的个数为，求的分布列及数学期望E.

     

     

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    17．（本小题满分14分）

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           如图，正三棱柱ABC―A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=1.

       （I）求证：A1C//平面AB1D；

       （II）求二面角B―AB1―D的大小；

       （III）求点c到平面AB1D的距离.

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    18．（本小题满分14分）

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              设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.

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       （I）证明：；

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       （II）若的面积取得最大值时的椭圆方程.

    2,4,6

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    19．（本小题满分14分）

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           设a>0，函数.

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       （I）若在区间上是增函数，求a的取值范围；

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       （II）求在区间上的最大值.

     

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    20．（本小题满分14分）

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           设是首项为1，公比为2的等比数列. 对于满足的整数k,

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    数列确定. 记.

    （I）当k=1时，求M的值；

    （II）求M的最小值及相应的k的值.

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    一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

    2,4,6

    二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

    9．120   10．5    11．   12．   13．1（2分），（3分）

    14．4（2分），（3分）

    三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

    15．（本小题满分12分）

       （I）解：因为α为第二象限的角，，

    所以，，………………………………………2分

     ……………………………………………………… 4分

    又，

    所以， …………………………… 6分

       （II）解：因为β为第三象限的角，，

    所以， …………………………………………8分

    又，………10分

    所以， ………………12分

    16．（本小题满分12分）

       （I）解：记这两套试验方案在一次试验中均不成功的事件为A，则至少有一套试验成功的事件为

        由题意，这两套试验方案在一次试验中不成功的概率均为1－p.

    所以，，

     

    从而，

    令 ………………………………………6分

       （II）解：ξ的可取值为0，1，2. ……………………………………………7分

     ……………………………………………………10分

    所以ξ的分布列为

    ξ

    0

    1

    2

    P

    0.49

    0.42

    0.09

    ξ的数学期望……12分

    解法一（I）证明：

    连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

    ∵ABC―A1B1C1是正三棱柱，且AA1 = AB，

    ∴四边形A1ABB1是正方形，

    ∴E是A1B的中点，

    又D是BC的中点，

    ∴DE∥A1C. ………………………… 3分

    ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D，

    ∴A1C∥平面AB1D. ……………………4分

       （II）解：在面ABC内作DF⊥AB于点F，在面A1ABB1内作FG⊥AB1于点G，连接DG.

    ∵平面A1ABB1⊥平面ABC，  ∴DF⊥平面A1ABB1，

    ∴FG是DG在平面A1ABB1上的射影，  ∵FG⊥AB1， ∴DG⊥AB1

    ∴∠FGD是二面角B―AB1―D的平面角 …………………………7分

    设A1A = AB = 1，在正△ABC中，DF=

    在△ABE中，，

    在Rt△DFG中，，

    所以，二面角B―AB1―D的大小为 …………………………9分

       （III）解：∵平面B1BCC1⊥平面ABC，且AD⊥BC，

    ∴AD⊥平面B1BCC1，又AD平面AB1D，∴平面B1BCC1⊥平面AB1D.

    在平面B1BCC1内作CH⊥B1D交B1D的延长线于点H，

    则CH的长度就是点C到平面AB1D的距离. ……………………………12分

    由△CDH∽△B1DB，得

    即点C到平面AB1D的距离是 ……………………………………14分

    建立空间直角坐标系D―xyz，如图，

       （I）证明：

    连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE.

    设A1A = AB = 1，

    则

     …………………………3分

    ，

     ……………………………………4分

       （II）解：， ，

    设是平面AB1D的法向量，则，

    故；

    同理，可求得平面AB1B的法向量是 ……………………7分

    设二面角B―AB1―D的大小为θ，，

    ∴二面角B―AB1―D的大小为 …………………………9分

       （III）解由（II）得平面AB1D的法向量为，

    取其单位法向量

    ∴点C到平面AB1D的距离 ……………………14分

    18．（本小题满分14分）

       （I）解：依题意，直线l显然不平行于坐标轴，故

    将，得

          ① ………………………… 3分

    由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得

    ，

    即 …………………………………………………… 5分

       （II）解：设由①，得

    因为，代入上式，得  ……………8分

    于是，△OAB的面积

                           ………………11分

    其中，上式取等号的条件是 ……………………12分

     

    由

    将这两组值分别代入①，均可解出

    所以，△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 ………………14分

    19．（本小题满分14分）

       （I）解：对函数 ……………………… 2分

    要使上是增函数，只要上恒成立，

    即上恒成立 ……………………………………4分

    因为上单调递减，所以上的最小值是，

    注意到a > 0，所以a的取值范围是 ……………………………………6分

       （II）解：①当时，由（I）知，上是增函数，

    此时上的最大值是 ……………………8分

    ②当，

    解得 ……………………………………………………10分

    因为，

    所以上单调递减，

    此时上的最大值是………… 13分

    综上，当时，上的最大值是；

    当时，上的最大值是 ……………14分

    20．（本小题满分14分）

       （I）解：显然 ……………………………………1分

    当 ……………………………………3分

    所以，

              …………………………6分

       （II）解：

       ………………………………………………9分

      

         ………………12分

    当

    所以，M的最小值为 ………………………………14分

     

     


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