2009届高考数学快速提升成绩题型训练――概率

1. 两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆汽车（票价相同），但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序．两人采用了不同的乘车方案：

　　甲无论如何总是上开来的第一辆车．而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适状况．如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆不比第一辆好，他就上第三辆车．

　　如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题：

（1）三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？

（2）你认为甲、乙两人采用的方案，哪一种方案使自己乘坐上等车的可能性大？为什么？

2有一个抛两枚硬币的游戏，规则是：若出现两个正面，则甲赢；若出现一正一反，则乙赢；若出现两个反面，则甲、乙都不赢．

（１）这个游戏是否公平？请说明理由；

（２）如果你认为这个游戏不公平，那么请你改变游戏规则，设计一个公平的游戏；如果你认为这个游戏公平，那么请你改变游戏规则，设计一个不公平的游戏．

3. 一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球． 求其中白球的个数。

4. 在右图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．将它作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗？为什么？

5. 在口袋里有4颗糖，其中2颗是草莓口味的，1颗是苹果口味的，1颗是薄荷口味的．

（1）从中同时取出两颗，共有多少种等可能的结果？

    （2）从中取出一颗，放回搅匀后再取一颗，共有多少种等可能的结果？

（3）比较在（1）（2）两种不同的取法中，“取出的两颗糖口味一样”的概率．

6．一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着，，和，盒子外有两张卡片，分别写着和．现随机从盒内取出一张卡片，与盒子外的两张卡片放在一起，以卡片上的数量分别作为三条线段的长度，解答下列问题：

（1）求这三条线段能构成三角形的概率；   

（2）求这三条线段能构成等腰三角形的概率．

7．（构造概率模型解题）设，求证：.

8. 证明范德蒙（Vandermonde）恒等式：

.

9. 某农科所培育出两种杂交水稻品种进行试验种植，在相同的条件下各种种植10亩。收获情况如下：

A品种

亩产量（kg）

750

780

800

840

880

亩数

2.5

1.5

2

2.5

1.5

B品种

亩产量（kg）

760

780

800

820

850

亩数

2

2

3

2

1

试评价两种水稻品种产量的优劣状况。

10. 某电路中有红灯、绿灯各一只，当开关闭合后，便有红灯和绿灯闪动，并且每次有且仅有一只灯亮，设第一次出现红灯和绿灯的概率相等，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是．求：

   （Ⅰ）第二次出现红灯的概率；

   （Ⅱ）三次发光，红灯出现一次，绿灯出现两次的概率．

11. 从10个元件中（其中4个相同的甲品牌元件和6个相同的乙品牌元件）随机选出3个参加某种性能测试. 每个甲品牌元件能通过测试的概率均为，每个乙品牌元件能通过测试的概率均为.试求：

（I）选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率；

（II）若选出的三个元件均为乙品牌元件，现对它们进行性能测试，求至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率.

12. 猎人在距100米处射击一野兔，其命中率为，如果第一次射击未中，则猎人进行第二次射击，但距离为150米，如果第二次未击中，则猎人进行第三次射击，并且在发射瞬间距离为200米，已知猎人命中概率与距离平方成反比，求猎人命中野兔的概率。

13. 设有n个人，每个人都等可能地被分配到N个房间中的任意一间去住（n≤N）,求下列事件的概率

（1）指定的n个房间各有一个人住

（2）恰好有n个房间，其中各住一人

14. 已知某种高炮在它控制的区域内击中敌机制概率为0.2

（1）假定有5门这种高炮控制某区域，求敌机进入该区域后被击中的概率。

（2）要使敌机一旦进入这个区域后有0.9以上的概率被击中，需至少布置几门高炮？

15. 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时，他在两盒中任取一盒并从中任取出一根，求他发现用完一盒时，另一盒还有r根（1≤r≤n）的概率。

16. 基本系统是由四个整流二极管（串、并）联而成，已知每个二极管的可靠度为0.8（即正常工作），若要求系统的可靠度0.85，请你设计二极管的联结方式。

17. 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即刻离去，求两人会面的概率。

18. 某商场为了吸引顾客，设置了两种促销方式．一种方式是：让顾客通过转转盘获得购物券．规定顾客每购买100元的商品，就能获得一次转转盘的机会，如果转盘停止后，指针正好对准100元、50元、20元的相应区域，那么顾客就可以分别获得100元、50元、20元购物券，凭购物券可以在该商场继续购物；如果指针对准其它区域，那么就不能获得购物券．另一种方式是：不转转盘，顾客每购买100元的商品，可直接获得10元购物券．据统计，一天中共有1000人次选择了转转盘的方式，其中指针落在100元、50元、20元的次数分别为50次、100次、200次．

（1）指针落在不获奖区域的概率约是多少？

（2）通过计算说明选择哪种方式更合算？

19. 某中学高一年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动，高一（1）班必须参加，另外再从高一（2）班至七（6）班选出1个班．高一（4）班有学生建议用如下的方法：从装有编号为1、2、3的三个白球袋中摸出一个球，再从装有编号为1、2、3的三个红球袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上的数字和是几，就选几班，你认为这种方法公平吗？请说明理由．

20. 某商场2009年2月搞“真情回报社会”的幸运抽奖活动，共设五个奖金等级，最高奖金每份1万元，平均奖金180元，下面是奖金的分配表：

资金等级

一等奖

二等奖

三等奖

四等奖

五等奖

资金额（元）

10000

5000

1000

50

10

中奖人数

3

8

89

300

600

一名顾客抽到一张奖券，奖金数为10元，她调查了周围不少正在兑奖的其他顾客，很少有超过50元的，她气愤地去找商场的领导论理，领导解释说这不存在什么欺骗，平均奖金确实是180元．你认为商场所说的平均奖金是否欺骗了顾客？此种说法是否能够很好地反映中奖的一般金额？用你所学的统计与概率的有关知识做简要分析说明．以后遇到类似抽奖活动的问题，你会更关心什么？

21. 抽样本检查是产品检查的常用方法.分为返回抽样和不返回抽样两种具体操作方案.现有100只外型相同的电路板，其中有40只A类版后60只B类板.问在下列两种情况中“从100只抽出3只，3只都是B类”的概率是多少？

（1）每次取出一只，测试后放回，然后再随机抽取下一只（称为返回抽样）；

（2）每次取出一只，测试后不放回，在其余的电路板中，随意取下一只（称为不返回抽样）．

22. 某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0. 21、0.23、0.25、0.28，计算这个射手在一次射击中：

（1）射中 10 环或 7 环的概率；

（2）不够7环的概率．

23. 如图，用A，B，C三类不同的元件连接成两个系统N_l，N₂，当元件A，B，C 都正常工作时，系统N₁正常工作；当元件A正常工作且元件B，C中至少有一个正常工作时，系统N₂正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次是0.80，0.90，0.90．试分别求出系统N_l，N₂正常工作的概率P₁，P₁．

24. 某城市518路公共汽车的准时到站率为90%，某人在5次乘坐这班车中，这班公共汽车恰好有4次准时到站的概率是多少？

25. 某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频率如下表：

人数

0~6

7~12

13~18

19~24

25~30

31人以上

频率

0.1

0.15

0.25

0.20

0.20

0.1

（1）从每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约是多少？

（2）全线途经10个停靠点，若有2个以上（含2个），乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？

26. 排球比赛的规则是5局3胜制，A、B两队每局比赛获胜的概率都相等且分别为和．

（1）前2局中B队以2∶0领先，求最后A、B队各自获胜的概率；

（2）B队以3∶2获胜的概率．

27. 北京08奥运会吉祥物是“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”.现将三张分别印有“欢欢、迎迎、妮妮”这三个吉祥物图案的卡片(卡片的形状大小一样，质地相同)放入盒子．

(1)小玲从盒子中任取一张,取到卡片欢欢的概率是多少?

     (2)小玲从盒子中取出一张卡片,记下名字后放回,再从盒子中取出第二张卡片,记下名字.列出小玲取到的卡片的所有可能情况,并求出两次都取到卡片欢欢的概率．

28. 袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

(1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.

29. 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取两次，每次取一只，试求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品.

30. 从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于，求男女生相差几名?

答案：

1. 解：（1）三辆车开来的先后顺序有6种可能：

（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）．

（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6种顺序出现的可能性相同．我们来研究在各种可能性的顺序之下，甲、乙二人分别会上哪一辆汽车：

顺　　序

甲

乙

上、中、下

上

下

上、下、中

上

中

中、上、下

中

上

中、下、上

中

上

下、上、中

下

上

下、中、上

下

中

于是不难得出，甲乘上、中、下三辆车的概率都是；而乙乘上等车的概率是，乘中等车的概率是，乘下等车的概率是．

乙采取的方案乘坐上等车的可能性大．

2. 解：（１）不公平．

　　　　因为抛两枚硬币，所有机会均等的结果为：

　　　　正正，正反，反正，反反．

　　　　所以出现两个正面的概率为，

　　　　出现一正一反的概率为．

　　　　因为二者概率不等，所以游戏不公平．

　　　　（２）游戏规则一：若出现两个相同面，则甲赢；若出现一正一反（一反一正），则乙赢．

　　游戏规则二：若出现两个正面，则甲赢；若出现两个反面，则乙赢；若出现一正一反，则甲、乙都不赢．

3. 解法一：设口袋中有个白球，

由题意，得，

解得．

答：口袋中大约有30个白球．

注：这里解分式方程是同解变形，可不检验，因而不给分．

解法二：（50次摸到红球）＝，

．．

答：口袋中大约有30个白球．

4. 答：这个游戏是公平的．

　　因为黑白两色的直角三角形都全等，且个数也分别相等，

　　所以黑白两色直角三角形面积的和也分别相等．

　　又因为黑白两色的弓形的弦长都是直角三角形的斜边，

　　所以黑白两色弓形面积的和也分别相等．

　　因此黑白两色区域面积各占圆面积的50％，

　　即镖扎在黑白两色区域面积的概率均为50%，

　　故此游戏公平．

5.（1）共有12种等可能的结果，树状图略．（2）共有16种等可能的结果，可由列表法得出（3）在（1）（2）两种不同取法中，“取出的两颗糖口味一样”的概率分别为、

6．解：由已知得：共组成4组边，即2,3,5；3,3,5；3,4,5；3,5,5，……………………2分

（1）依题意，3,3,5；3,4,5；3,5,5，有3组能构成三角形, ???????????????????? 4分

∴??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（2）依题意,3,3,5和5,3,5两组能构成等腰三角形??????????????????????????????????? 8分

∴

7. 证明：设A、B、C三个相互独立的事件，且，，，

由概率的性质及加法公式得：

∴  .

8. 证明：从装有n个白球，m个黑球的袋子里，随机摸出k个（kㄑmin（n，m））球来，设A­_r表示摸到r个（0ㄑrㄑk）白球的事件，则根据古典概率的含义得：

，（r=0，1，2，…，k）

∵ 事件A₀+A₁+…+A_k是必然事件，并且A₀、A₁、…、A_k­­之间是互不相容的

∴

∴

∴ .

9. 解：设A、B两种水稻的亩产量分别是、，则

随机变量的概率分布为：

750

780

800

840

880

0.25

0.15

0.2

0.25

0.15

随机变量的概率分布为：

760

780

800

820

850

0.2

0.2

0.3

0.2

0.1

∴ E=750×0.25+780×0.15+800×0.2+840×0.25+880×0.15=806.5，

E=760×0.2+780×0.2+800×0.3+820×0.2+850×0.1=797.0；

D= （750－806.5）²_­­×0.25+（780－806.5）²_­­×0.15+（800－806.5）²_­­×0.2+（840－806.5）²_­­×0.25+（880－806.5）²_­­×0.15=2002.7，

D= （760－797.0）²_­­×0.2+（780－797.0）²_­­×0.2+（800－797.0）²_­­×0.3+（820－797.0）²_­­×0.2+（850－797.0）²_­­×0.1=721.0.

可见， A品种水稻亩产量的数学期望值虽然略高于B品种水稻，但是B品种水稻的亩产量方差远大于A品种水稻的亩产量方差。

∴ B品种水稻的亩产量较为稳定，种植风险小。

10. 解：（Ⅰ）随机选出的3个元件中，至少有一个甲品牌元件的概率为

            1－；

（Ⅱ）至少有两个乙品牌元件同时通过测试的概率为

            =；

11. 解：由于第一次出现红灯和绿灯的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出现红灯和绿灯的概率均为，由对立事件的概率可知，从第二次起，前次出现红灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是；前次出现绿灯后接着出现红灯的概率是，则接着出现绿灯的概率是．             

  　  （Ⅰ）；              

     （Ⅱ）．

12. 解：记三次射击为事件A、B、C其中P（A）=

   由= P（A）=

   ∴ P（B）=     P（C）= 

   ∴命中野兔的概率为：P（A）+P（?B）+ P（??C）=

13. 解：∵每个人有N个房间可供选择，所以n个人住的方式共有 Nⁿ 种，它们是等可能的，    ∴（1）指定n个房间各有一个人住记作事件A：可能的总数为n！则 P（A）=

（2）恰好有n个房间其中各住一人记作事件B，则这n个房间从N个房间中任选共有  个, 由（1）可知：P（B）=

14. 解：（1）设敌机被第k门高炮击中的事件为A_k（k=1、2、3、4、5）那么5门高炮都未击中敌机的事件为???? 

 ∵ A_i  是相互独立事件        ∴ 敌机击被击中的概率为：

P（????）

= P（）?P（）?P （）?P（）?P（）

= (1?0.2)⁵ =        ∴ P = 1－

(2)设至少需要n门高炮使敌机有0.9以上的概率被击中，则：

    1?> 0.9         解得：n > 10.3  

   ∵ n∈N₊              ∴ 至少需要11门高炮才能有0.9以上的概率击中敌机。

15. 解：由题意数学家共用了2n?r根火柴，其中n根取自一盒，n?r根取自另一盒，于是此问题可等价转化为：“2n?r个不同的球，放入两个盒子，求甲盒放n个，乙盒放n?r的概率”，记作事件A，因每个球放入两个盒子共有2种放法

∴2n?r个球的所有等可能结果为，甲盒放入n个球的可能结果为

∴P（A）=

16. 解：设系统可靠性为P

（1）若全并联，则P = 1?0.2⁴=0.9984 > 0.85

（2）若两个两个串联后再并联，则P = (1?0.8²)² = 0.8704 > 0.85

（3）两个两个并联后再串联，则P = (1?0.2²)² = 0.9216 > 0.85

（4）三个串联与第四个并联，则1?0.2（1?0.8³）= 0.9024 > 0.85

    ∴设计如下 →             →        →                   →

       →                           →    →                         →

17. 解：设x、y分别为甲乙两人到达约会地点的时间，若两个人能会面，则| x?y |≤15

如 图：

则（x、y）的所有可能结果是边长为60的正方形

内的所有点的集合，由等可能事件的概率求法可知：

  P（A）=

18. 解：（1）（不获奖）=（或65%）   　　　

   （2）转转盘的平均收益为：

转转盘的方式更合算

19. 解：方法不公平．

　　　说理方法一：用表格来说明，

1

2

3

1

(1，1)(2)

(1，2)(3)

(1，3)(4)

2

(2，1)(3)

(2，2)(4)

(2，3)(5)

3

(3，1)(4)

(3，2)(5)

(3，3)(6)

　　　所以，七（2）班被选中的概率为，七（3）班被选中的概率为，七（4）班被选中的概率为，七（5）班被选中的概率为，七（6）班被选中的概率为，

　　所以，这种方法不公平．

20. 解：由题意可知：

　 　　（元）

　　所以，商场领导的解释不存在欺骗．

　　但是，中小奖（不超过50元）的概率为

　　或中大奖（不低于1000元）的概率为

　　中奖金额的众数为10，中位数为10（不说中位数不扣分）．

　　所以以上说法不能反映中奖的一般金额，因此在以后此类活动中应注重中大（或小）奖的概率的大小，注意观察众数和中位数是多少．

21. 解 （1）设“从100只中抽去3只，3只都是B类”为事件M，先求基本事件总数，由于每次抽去一只，测试后又放回，故每次都是从100只电路板中任取一只，这是重复排列，共有

个.再求M所包含的基本事件数，由于每次抽出后又放回，故是重复排列，共有 个，所以．

（2）由于取出后不放回，所以总的基本事件数为个，事件M的基本事件数为，所以 ．

22. 解 （1）记“射击10环”为事件A，记“射中7环”为事件B，由于在一次射击中，A与B不可能同时发生，故A，B是互斥事件.∴P(A + B)＝P(A) + P(B)＝0.21 + 0.28＝0.49.

（2）记“不够 7 环”为事件C.∴P（）＝ 0.21 + 0.23 + 0.25 + 0.28＝0.97， 从而 P(C）＝1一P（）＝ 1一0.97＝0.03．

23. 解  分别记元件A，B，C正常工作的事件为A，B，C，由已知P(A)＝0.80，P(B)＝0.90，P(C)＝0.90．∵事件A，B，C互相独立，∴N₁正常工作的概率为＝0.8×0.9×0.9＝0.648．N₂正常工作的概率为＝0.8×（1－（1－0.9）（1－0.9））＝0.792．

24. 解  5次乘坐518次公共汽车，只有“车准时到站”和“车不准时到站”两种情况发生，而且每次车是否准时到站与另一次无关，因此5次乘车恰有4次准时到站的事件可看作5次独立重复试验中“车准时到站”事件恰好发生4次，故概率为．

25. 解 （1）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.1+0.15+0.25+0.2=0.7．

    （2）从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5，途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为，途经 10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率 ．

所以，途经10个停靠点，有2个以上（含2个）停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率

P=1－－C（）（1－）⁹=1－=．∴该线路需要增加班次．

答：（1）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.7；(2) 该线路需要增加班次．

26. 解 （1）设最后A获胜的概率为P₁，最后B获胜的概率为P₂．

∴P₁=C()³=，P₂=+×+××= （或P₂=1- P₁=）．

（2）设B队以3∶2获胜的概率为P₃．∴P₃= C()³ ()² = ．

27. 解析:（１）；（２）列出所有可能情况：易知两次都取到欢欢的概率为．

28. 解：从8个球中任意摸出4个共有种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A₁，恰有2个白球为事件A₂，3个白球为事件A₃，4个白球为事件A₄，恰有i个黑球为事件B_ｉ，则

(1)摸出2个或3个白球的概率

P₁＝Ｐ（A₂＋A₃）＝Ｐ（A₂）＋Ｐ（A₃）

(2)至少摸出1个白球的概率

P₂＝1－Ｐ（B₄）＝1－0＝1

(3)至少摸出1个黑球的概率

Ｐ₃＝1－Ｐ（A₄）＝1－

29. 解：从6只灯泡中有放回地任取两只，共有6²＝36种不同取法.

(1)取到的2只都是次品情况为2²＝4种.因而所求概率为.

(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有两种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率为

P=

(3)由于“取到的两只中至少有一只正品”是事件“取到的两只都是次品”的对立事件.因而所求概率为

P=1-