解答题专题训练
1、 求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．（91高考24）
2、 已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值．（91高考25）
3、已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．（91高考26）
4、根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
5、求sin220º+ cos280º＋sin20ºcos80º的值.（92高考24）
6、设z∈C，解方程z－2|z|=－7+4i.（92高考25）
7、如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥的A1－EBFD1的体积.（92高考26）
8、已知f (x)=loga(a>0，a≠1)．(Ⅰ)求f (x)的定义域；
(Ⅱ)判断f (x)的奇偶性并予以证明；(Ⅲ)求使f (x)>0的x取值范围．（93高考24）
9、 已知数列
Sn为其前n项和．计算得
观察上述结果，推测出计算Sn的公式，并用数学归纳法加以证明．（93高考25）
10、已知：平面α∩平面β=直线a．α，β同垂直于平面γ，又同平行于直线b．
求证：(Ⅰ)a⊥γ；(Ⅱ)b⊥γ．（93高考26）
11、已知z=1+i．(1)设ω=z2+3－4，求ω的三角形式；
(2)如果，求实数a，b的值．（94高考21）
12、已知函数f(x)=tgx，x∈(0，)．若x1，x2∈(0，)，且x1≠x2，证明[f(x1)+f(x2)]>f()（94高考22）
13、如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点．
(1)证明AB1∥平面DBC1；
(2)假设AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数．（94高考23）
14、在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O (其中O是原点)，已知Z2对应复数．求Z1和Z3对应的复数．（95高考21）
15、求sin220°+cos250°+sin20°cos50°的值．（95高考22）
16、如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，AF⊥DE，F是垂足．
(1)求证：AF⊥DB；
(2)如果圆柱与三棱锥D－ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．（95高考23）
17、某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克．根据市场调查，当8≤x≤14时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
P=1000(x+t－8)( x≥8，t≥0)，Q=500(8≤x≤14)．
当P=Q时市场价格称为市场平衡价格．
(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元? （95高考24）
18、解不等式log a(1 ? )>1.（96高考20）
19、已知DABC的三个内角A, B, C 满足:（96高考21）
20、某地现有耕地10000公顷.规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(粮食单产 = ， 人均粮食占有量 = )（96高考23）
(I). 求证: BE=EB1; B
(II). 若AA1=A1B1,求平面A1EC与平面A1B1C1所成二面角(锐角)的
度数. （96高考22） E
注意: 在以下横线上填上适当内容,使之成为(I)的完整证明,并解答(II).
(I)证明:在截面A1EC内,过E作EG ^ A1C,G是垂足. A1 C1
ÀQ ________________________ \ EG^侧面AC1; B1
取AC的中点F,连结BF,FG,由AB=BC得BF^AC,
Á Q________________________ \ BF^侧面AC1;
 Q __________________________ B
\BE // FG,四边形BEFG是平行四边形,BE=FG,
à Q_________________________ G
\ FG //AA1, D AA1C D FGC, E
Ä Q__________________________ A1 C1
\ FG=AA1/2 = BB1 /2,即BE = BB1,
故BE = EB1. B1
(II)解:
22、已知复数,．复数,在复数平面上所对应的点分别为P,Q．证明是等腰直角三角形（其中为原点）． （97高考20）
23、已知数列,都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q,其中p> q,且，．设,Sn为数列的前n项和．求．（97高考21）
24、甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时．已
知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v
(千米/时)的平方成正比、比例系数为b；固定部分为a元．
I．把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定
义域；
II．为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？（97高考22）
25、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点．
I．证明ADD1F； II．求AE与D1F所成的角；
III．证明面AED面A1FD1；IV．设AA1=2,求三棱锥F-A1ED1的体积（97高考23）
26、在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a＋c=2b，A－C=．求sinB的值．（98高考20）
27、如图，直线l1和l2相交于点M，l1 ⊥l2，点N∈l1．以A， B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．（98高考21）
28、如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体的长度为a米，高度为b米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比．现有制箱材料60平方米．问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)．（98高考22）
29、已知斜三棱柱ABC－A1 B1 C1的侧面A1 ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90º，BC=2，AC=2，且AA1 ⊥A1C，AA1= A1 C．
Ⅰ．求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；
Ⅱ．求侧面A1 ABB1 与底面ABC所成二面角的大小；
Ⅲ．求顶点C到侧面A1 ABB1的距离．（98高考23）
30.解不等式（99高考19）
31.设复数求函数的最大值以及对应的值.（99高考20）]
32.如图，已知正四棱柱，点在棱上，截面∥，且面与底面所成的角为
Ⅰ.求截面的面积；Ⅱ.求异面直线与AC之间的距离；
Ⅲ.求三棱锥的体积.
33、 已知函数
（I）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（00高考19）
（II）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？
34、如图，已知平行六面体 的底面ABCD是菱形，且
（I）证明： ；
（II）假定CD=2， ，记面C1BD为α，面CBD为β，求二面角α ?BD- β的平面角的余弦值；
（III）当 的值为多少时，能使
？请给出证明。（00高考20）
35、设函数
，其中a>0。
（I）解不等式f(x)≤1；
（II）求a的取值范围，使函数f(x)在区间[0，+∞]上是单调函数。（00高考21）
36、（I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数p；
（II）设是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列。
（00高考22）
37、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示。（00高考23）
（I）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P=f(t)；
写出图二表求援 种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)；
（II）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价和种植成本的单位：，时间单位：天）
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.（01高考17）
39、已知复数（01高考18）
（Ⅰ）求及|z1|； （Ⅱ）当复数z满足|z|=1，求的最大值.
40、设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC//x轴.证明直线AC经过原点O.（01高考19）
41、已知是正整数，且（01高考20）
（Ⅰ）证明 （Ⅱ）证明
42、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入比上年减少.本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加
（Ⅰ）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出an，bn的表达式；
（Ⅱ）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？（01高考21）
43、已知、的值.（02高考17）
44、如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直. 点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=.
（Ⅰ）求MN的长；
（Ⅱ）当a为何值时，MN的长最小；
（Ⅲ）当MN长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角α的大小.（02高考18）
45．（本小题满分12分）
设点P到点M（－１，0）、N（1，0）距离之差为2m，
到x轴、y轴距离之比为2.求m的取值范围. （02高考19）
46．某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同.为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? （02高考20）
（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；
（2）求点D1到面BDE的距离.
48．已知复数z的辐角为60°，且是和的等比中项. 求.
49．已知 设
P：函数在R上单调递减.
Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围.
50．（本小题满分12分）
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解答题专题训练答案：
1、解：y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x＋cos2x)＋2sinxcosx+2cos2x ――1分
=1sin2x(1＋cos2x) ――3分
=2＋sin2x+cos2x=2+sin(2x+)． ――5分
当sin(2x+)=－1时y取得最小值2－． ――6分
使y取最小值的x的集合为{x|x=kπ－π，k∈Z}． ――8分
2、本小题考查复数基本概念和运算能力．满分8分．
解：== ――2分
=1－i． ――4分
1－i的模r==．
因为1－i对应的点在第四象限且tgθ=－1，所以辐角主值θ=π． ――8分
3、本小题考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及逻辑推理和空间想象能力．满分10分．
解：如图，连结EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O． 因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．
BD不在平面EFG上．否则，平面EFG和平面ABCD重合，从而点G在平面的ABCD上，与题设矛盾．
由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离． ――4分
∵ BD⊥AC，∴ EF⊥HC．
∵ GC⊥平面ABCD，∴ EF⊥GC，
∴ EF⊥平面HCG．
∴ 平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线． ――6分
作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离． ――8分
∵ 正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴ AC=4，HO=，HC=3．
∴ 在Rt△HCG中，HG=．
由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．
∴ OK=．
即点B到平面EFG的距离为． ――10分
注：未证明“BD不在平面EFG上”不扣分．
4、本小题考查函数单调性的概念，不等式的证明，以及逻辑推理能力．满分10分．
证法一：在(－∞，+∞)上任取x1，x2且x1<x2 ――1分
则f (x2) －f (x1) == (x1－x2) () ――3分
∵ x1<x2，∴ x1－x2<0． ――4分
当x1x2<0时，有= (x1+x2) 2－x1x2>0； ――6分
当x1x2≥0时，有>0；
∴ f (x2)－f (x1)= (x1－x2)()<0． ――8分
即 f (x2) < f (x1).所以，函数f(x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ――10分
证法二：在(－∞，+∞)上任取x1，x2，且x1<x2， ――1分
则 f (x2)－f (x1)=x－x= (x1－x2) ()． ――3分
∵ x1<x2，∴ x1－x2<0． ――4分
∵ x1，x2不同时为零，∴ x＋x>0．
又 ∵ x＋x>(x＋x)≥|x1x2|≥－x1x2 ∴ >0，
∴ f (x2)－f (x1) = (x1－x2) ()<0． ――8分
即 f (x2) < f (x1)．所以，函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数． ――10分
5、本小题主要考查三角函数恒等变形知识和运算能力.满分9分.
解 sin220º+cos280º＋sin220ºcos80º
=(sin100º－sin60º) ――3分
=1＋(cos160º－cos40º)+sin100º－ ――5分
=－?2sin100ºsin60º＋sin100º ――7分
=－sin100º＋sin100º=. ――9分
6、本小题主要考查复数相等的条件及解方程的知识.满分10分.
解 设 z=x＋yi (x，y∈R).依题意有
x＋yi－2=－7+4i ――2分
由复数相等的定义，得
――5分
将②代入①式，得x－2 =－7.
解此方程并经检验得x1=3， x2=. ――8分
∴ z1 =3＋4i， z2=＋4i. ――10分
7、本小题主要考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.满分10分.
解法一 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，
∴ 四棱锥A1－EBFD1的底面是菱形. ――2分
连结A1C1、EF、BD1，则A1C1∥EF.
根据直线和平面平行的判定定理，A1C1平行于A1－EBFD1的底面，从而A1C1到底面EBFD1的距离就是A1－EBFD1的高 ――4分
设G、H分别是A1C1、EF的中点，连结D1G、GH，则FH⊥HG， FH⊥HD1
根据直线和平面垂直的判定定理，有
FH⊥平面HGD1，
又，四棱锥A1－EBFD1的底面过FH，
根据两平面垂直的判定定理，有
A1－EBFD1的底面⊥平面HGD1.
作GK⊥HD1于K，根据两平面垂直的性质定理，有
GK垂直于A1－EBFD1的底面. ――6分
∵ 正方体的对角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴ ∠HGD1=90º.
在Rt△HGD1内，GD1=a，HG=a，HD1==a.
∴ a?GK=a?a，从而GK=a. ――8分
∴ =?GK=??EF?BD1?GK
=?a?a?a=a3 ――10分
解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a，
∴ 四菱锥A1－EBFD1的底面是菱形. ――2分
连结EF，则△EFB≌△EFD1.
∵ 三棱锥A1－EFB与三棱锥A1－EFD1等底同高，
∴ .
∴ . ――4分
又 ，
∴ ， ――6分
∵ CC1∥平面ABB1A1，
∴ 三棱锥F－EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距离，即棱长a. ――8分
又 △EBA1边EA1上的高为a.
∴ =2???a=a3. ――10分
8、本小题考查函数的奇偶性、对数函数的性质、不等式的性质和解法等基本知识及运算能力．满分12分．
解 (Ⅰ)由对数函数的定义知． ――1分
如果，则－1<x<1；
如果，则不等式组无解． ――4分
故f (x)的定义域为(－1，1)
(Ⅱ) ∵ ，
∴ f (x)为奇函数． ――6分
(Ⅲ)(?)对a>1，loga等价于， ①
而从(Ⅰ)知1－x>0，故①等价于1+x>1－x，又等价于x>0．
故对a>1，当x∈(0，1)时有f(x)>0． ――9分
(?)对0<a<1，loga等价于0<． ②
而从(Ⅰ)知1－x>0，故②等价于－1<x<0．
故对0<a<1，当x∈(－1，0)时有f(x)>0． ――12分
9、本小题考查观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．满分10分．
解 ． ――4分
证明如下：
(Ⅰ)当n=1时，，等式成立． ――6分
(Ⅱ)设当n=k时等式成立，即
――7分
则 =
由此可知，当n=k+1时等式也成立． ――9分
根据(Ⅰ)(Ⅱ)可知，等式对任何n∈N都成立． ――10分
10、本小题考查直线与平面的平行、垂直和两平面垂直的基础知识，及空间想象能力和逻辑思维能力．满分12分．
证法一(Ⅰ)设α∩γ=AB，β∩γ=AC．
在γ内任取一点P并于γ内作直线PM⊥AB，PN⊥AC． ――1分
∵ γ⊥α，∴ PM⊥α．
而 aα，∴ PM⊥a．
同理PN⊥a． ――4分
又 PMγ，PNγ，
∴ a⊥γ． ――6分
(Ⅱ)于a上任取点Q，
过b与Q作一平面交α于直线a1，交β于直线a2． ――7分
∵ b∥α，∴ b∥a1．同理b∥a2． ――8分
∵ a1，a2同过Q且平行于b，
∵ a1，a2重合．又 a1α，a2β，
∴ a1，a2都是α、β的交线，即都重合于a． ――10分
∵ b∥a1，∴ b∥a．而a⊥γ，
∴ b⊥γ． ――12分
注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
证法二(Ⅰ)在a上任取一点P，过P作直线a′⊥γ． ――1分
∵ α⊥γ，P∈α，∴ a′α．
同理a′β． ――3分
可见a′是α，β的交线．
因而a′重合于a． ――5分
又 a′⊥γ，
∴ a⊥γ． ――6分
(Ⅱ)于α内任取不在a上的一点，过b和该点作平面
与α交于直线c．同法过b作平面与β交于直线d． ――7分
∵ b∥α，b∥β．
∴ b∥c，b∥d． ――8分
又 cβ，dβ，可见c与d不重合．因而c∥d．
于是c∥β． ――9分
∵ c∥β，cα，α∩β=a，
∴ c∥a． ――10分
∵ b∥c，a∥c，b与a不重合(bα，aα)，
∴ b∥a． ――11分
而 a⊥γ，∴ b⊥γ． ――12分
注：在第Ⅱ部分未证明b∥a而直接断定b⊥γ的，该部分不给分．
11．本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力．
解：(1)由z＝1+i，有
ω=z2+3－4 =(1+i)2+3－4 =2i+3(1－i)－4=－1－i，
ω的三角形式是．
(2)由z=1+i，有
=
由题设条件知(a+2)－(a+b)i=1－i．
根据复数相等的定义，得解得
12．本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力．
证明：
tgx1+tgx2=
∵x1，x2∈(0，)，x1≠x2，
∴2sin(x1+x2)>0，cos x1cosx2>0，且0<cos (x1－x2)<1，
从而有0<cos (x1+x2)+cos (x1－x2)<1+cos (x1+x2)，
由此得tgx1+tgx2>，∴( tgx1+tgx2)>tg，
即[f(x1)+f(x2)]>f()
13．本小题考查空间线面关系、正棱柱的性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：
∵A1B1C1－ABC是正三棱柱，∴四边形B1BCC1是矩形．
连结B1C交BC1于E，则B1E=EC．连结DE．
在△AB1C中，∵AD=DC，∴DE∥AB1．
又AB1平面DBC1，DE平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．
(2)解：作DF⊥BC，垂足为F，则DF⊥面B1BCC1，连结EF，则EF是ED在平面B1BCC1上的射影．
∵AB1⊥BC1，
由(1)知AB1∥DE，∴DE⊥BC1，则BC1⊥EF，∴∠DEF是二面角α的平面角．
设AC=1，则DC=．∵△ABC是正三角形，∴在Rt△DCF中，
DF=DC?sinC=，CF=DC?cosC=．取BC中点G．∵EB=EC，∴EG⊥BC．
在Rt△BEF中，
EF2=BF?GF，又BF=BC－FC=，GF=，
∴EF2=?，即EF=．∴tg∠DEF=．∴∠DEF=45°．
故二面角α为45°．
14、本小题主要考查复数基本概念和几何意义，以及运算能力．
解：设Z1，Z3对应的复数分别为z1，z3，依题设得
=
15、本小题主要考查三角恒等式和运算能力．
解： 原式
16．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力．
(1)证明：根据圆柱性质，DA⊥平面ABE．
∵EB平面ABE，∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE．
∵AF平面DAE，∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB．
∵DB平面DEB，∴AF⊥DB．
(2)解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连结DH．根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．
又DH平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是V圆柱=2πR3，
由V圆柱：VD－ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，AH=R，
DH=
∴∠EDH=arcctg=arcctg，
17．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．
解：(1)依题设有1000(x+t－8)=500，
化简得 5x2+(8t－80)x+(4t2－64t+280)=0．
当判别式△=800－16t2≥0时，
可得 x=8－±．
由△≥0，t≥0，8≤x≤14，得不等式组：
①
②
解不等式组①，得0≤t≤，不等式组②无解．故所求的函数关系式为
函数的定义域为[0，]．
(2)为使x≤10，应有
8≤10
化简得 t2+4t－5≥0．
解得t≥1或t≤－5，由t≥0知t≥1．从而政府补贴至少为每千克1元．
18、本小题考查对数函数性质，对数不等式的解法，分类讨论的方法和运算能力．满分11分．
解：(Ⅰ)当a＞1时，原不等式等价于不等式组：
――2分
由此得．
因为1－a<0，所以x<0，
∴ ――5分
(Ⅱ)当0<a<1时，原不等式等价于不等式组：
由①得，x>1或x<0，
由②得，
∴ ――10分
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
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