用无穷等比数列的和的公式来证明不等式本身就是一种创新，应该说思维非常巧妙。

学生2同样展示了他的新探究：

用向量来证明不等式，也是方法上的创新，这两种证法都体现了学生的大胆想象力、探究精神和解题机智。一个懂得如何学习的学生在课堂上的想象力是非常丰富的，一个好的教师也应该懂得怎样来培养和保护学生的想象力。有时候，学生的想象力可能是“天马行空”，甚至是荒唐的，这时候教师还要注意引导：解题是否浪费了重要的信息？能否开辟新的解题通道？解题多走了哪些思维回路？思维、运算能否变得简洁？是否有方法的创新？能否对问题蕴涵的知识进行纵向深入地探究，梳理知识的系统性？能否加强知识的横向联系，把问题所蕴涵孤立的知识“点”扩展到系统的知识“面”？为什么有这样的问题，它和哪些问题有联系？能否受这个问题的启发，得到一些重要的结果，有规律性的发现？能否形成独到的新见解，有自己的小发明？等等。通过不断地想象，让学生的思维能够持续飞翔，从而不断培养学生丰富的想象力。

在具体进行构造之前，有必要了解f(x)的一些基本性质，以便构造时有正确的方向。由（1）知，f(x)定义域和值域都是一切实数；如果有x₁,x₂使f(x₁)=f(x₂) ，则f(f(x₁))=f(f(x₂))；函数的复合满足结合律，即(f。f)。f(x)= f。(f。f)(x)，由此得到f(x+2)=f(x)+2^……（2）因此，我们只要对满足0<2的实数x定义f(x)，然后按照（2）将f(x)的定义延拓到整个实数轴上即可。令为任意一个定义域和值域都为开区间（0，1）的有反函数的函数，它的反函数记为。下面k总表示整数，定义f(x)如下：

1）定义f(k)=k+1，kZ；

2）若2k<x<2k+1，定义f(x)=2k+1+；

3）若2k+1<x<2k+2，定义f(x)=2k+2+；

命题：如此定义的函数f(x)满足函数方程f[f(x)]=x+2.

在上面的函数中，函数的选取有很大的任意性。下面是几个例子：

例1．如取(x)=x  (0<x<1)，容易验证此时f(x)=x+1

例2．如取(x)=x ² (0<x<1)和 (0<x<1)，则f(x)为非线性函数。

例3．可以构造逐段线性函数f(x)，如取

　五、培养（诱发）学生的灵感。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感，对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。例如在一次不等式证明的复习课中，我举了这样一个例题：。

问题的叙述如此简洁！要证明这个不等式成立，似乎无从下手。但我让学生观察不等式的结构形式――指数式，指数式怎么办？这时有学生说：化成对数式。这时我捕捉了学生的这一想法：

在分析中寻找解题的灵感，在转化中获取解题的信息，应用数形结合，于是活的解法也就脱颖而出。

姓名：肖 瑛  

年龄：28   

身份：高中数学教师           

职称：中学二级  

单位：江苏省太湖高级中学（214125）

电话：0510―8931050

      本人自2000年参加工作以来，一直担任两个甚至三个班的高中数学教学工作，做了三年班主任，同时兼任备课组组长，完成了一轮循环教学。平时在教学实践中，不断探索、不断积累，参加的评优课获得了校级、区级的一等奖，市级的二等奖。撰写的《高中数学新课教学中“一分钟教学法”的运用》获得了“师陶杯”三等奖，《德育数学？》获得了全国中小学德育优秀论文评选交流材料二等奖，《构建民主、平等、和谐、互动的课堂结构》正在参评。