福建省泉州市部分重点中学2009届高三期末联考试卷
数学（理科）
一、选择题：（每题5分）
1．已知a∈R，设集合A＝{x||x－1|≤
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
2．若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C．若a＜b＜0，则＜ D．若a＜b＜0，则＞
3．已知函数y=2sin（ωx+φ），（ω＞0）的对称中心为（n，0），（n∈Z）；则ω=（ ）
A 1
B 
4．方程xy=lg|x|的曲线只能是 （）
5．已知函数
的值域为R，则m的取值范围是 （ ）
A．
B．
C．
D．
6． 若
，则点
必在（ ）
A．直线
的左下方 B．直线的右上方
C．直线
的左下方 D．直线的右上方
7．已知实数a，b满足：
(其中i是虚数单位)，若用Sn表示数列
的前n项的和，则Sn的最大值是 ( )
(A)16 (B)15 (C)14 (D)12
8.抛物线y2=x与过焦点且与对称轴垂直的直线所围成图形的面积为（ ）
A
B 
C
D 
9．下列命题中：①函数
的最小值是
：②在△ABC中，若
，则△ABC是等腰或直角三角形；③如果正实数，a，b，c满足a+b>c，则
；④如果
是可导函数，则
是函数在x=x0处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是 ( )
(A)①②③④ (B)①④ (C)②③④ (D)②③
10.已知定义在R上的函数
满足
，且
，
. 则有穷数列{
}( 
）的前
项和大于
的概率是 （ ）
A．
B．
C．
D． 
二、填空题：（除14题6分其余每题5分）
11．已知＝(cosθ，sinθ)，＝(3－cosθ，4－sinθ)，若∥，则cos2θ＝ ．
12、如图所示是三棱锥D-ABC的三视图，其中△DAC、△DAB、△BAC都是直角三角形，点O在三个视图中都是所在边的中点，则在三棱锥D-ABC中DO的长度为_________；该三棱锥外接球的表面积为________.
13. 在圆中有结论:如图,“AB是圆O的直经,直线AC,BD是圆O过A,B的切线,P是圆O上任意一点,CD是过P的切线,则有
”。 类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴,直线AC,BD是椭圆过A,B的切线,P是椭圆上任意一点,CD是过P的切线,则有 .”
14. 选做题(只需在（1）（2）小题中任选一题;（3）小题为必做题)
(1)(坐标系与参数方程选做题)圆
的面积为 .
(2)（坐标系与参数方程选做题）极坐标内曲线
的中心
与点
的距离为 ．
(3)(不等式选讲选做题) 若不等式
无实数解，则
的取值范围是 .
15．执行右边的程序框图，若
，则输出的
。
三、解答题：（共74分）
16．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝asinωx－acosωx(a＞0，ω＞0)的图象上两相邻最高点的坐标分别为(，2)和(，2)．
（1）求a与ω的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且f(A)＝2，求的值．
17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试，甲表示只要面试合格就签约；乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约，设每人面试合格的概率都是
，且面试是否合格互不影响。
（1）求至少有一人面试合格的概率；（2）求签约人数
的分布列和数学期望；
18.（本小题题满分12分）如图：在四棱锥
中，底面为正方形，
与底面
垂直，且
，
为棱
上的点.
（1）
为底面对角线
上的点，且 
，求证：
平面
；
（2）当
时，求二面角
的余弦值.
19．（本小题满分12分）设动点
到定点
的距离比它到
轴的距离大
．记点
的轨迹为曲线
（1）求点的轨迹方程；（2）设圆
过
，且圆心在的轨迹上，
是圆在轴上截得的弦，当运动时弦长
是否为定值?请说明理由．
20．（本小题满分12分）设方程tan2πx－4tanπx＋＝0在[n－1，n)(n∈N*)内的所有解之和为an．
（1）求a1、a2的值，并求数列{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足条件：b1＝2，bn＋1≥a，求证： ＋＋…＋＜2．
22．（本小题满分14分）若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且f(x)极小值＝f(－)＝－．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)?g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．
一、选择题：BBCCD CCBDC
二、填空题：
11. － 12.
13．
； 14．
；
;
15．
三、解答题：
16．解（1）f(x)＝asinωx－acosωx＝2asin(ωx－)
由已知知周期T＝－＝π， 故a＝1，ω＝2；……………………6分
（2）由f(A)＝2，即sin(
故＝＝ ＝＝＝2．……12分
17．A、B、C分别表示事件甲、乙、丙面试合格，则
（1）至少有一人合格的概率P=1－P（
）=
4分
（2）
可能取值0，1，2，3
5分
∴分布列为
0
1
2
3
P
9分
12分
18解：（1）连接
，交
于点
，连接
，
则在正方形
中，
又
，
，
故在△
中，
又
平面
，
平面，所以，
平面
（2）
面，四边形为正方形，故以点
为原点，
为
轴，
为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
面，
是面
的一个法向量
设
是平面
的一个法向量，则
，且
，
，取
，得
，
此时，向量
和
的夹角就等于二面角
的平面角
二面角的余弦值为
19．解：（1）依题意，
到
距离等于到直线
的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线 （2分）
曲线方程是
（4分）
（2）设圆心
，因为圆
过
故设圆的方程
（7分）
令
得：
设圆与轴的两交点为
，则
（10分）
在抛物线上，
（13分）
所以，当运动时，弦长
为定值2 （14分）
20．方程tan2πx－4tanπx＋＝(tanπx－1)(tanπx－)＝0
得tanπx＝或tanπx＝
（1）当n＝1时，x∈[0，1)，即πx∈[0，π)
由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝或πx＝
故a1＝＋＝；………………2分
当n＝2时，x∈[1，2)，则πx∈[π，2π)
由tanπx＝或tanπx＝，得πx＝或πx＝
故a1＝＋＝………………4分
当x∈[n－1，n)时，πx∈[(n－1)π，nπ)
由tanπx＝，或tanπx＝得πx＝＋(n－1)π或πx＝＋(n－1)π
得x＝＋(n－1)或x＝＋(n－1)，
故an＝＋(n－1)＋＋(n－1)＝2n－………6分
（2）由（1）得bn＋1≥a＝2bn－……………………8分
即bn＋1－≥a＝2(bn－)≥22(bn－1－)≥…≥2n(b1－)＝2n－1＞0……10分
则≤，即≤
＋＋…＋≤1＋＋…＋＝2－＜2．……12分
21．解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
∴f /(x)＝3ax2＋c，则
故f(x)＝－x3＋x；………………………………4分
（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，
如图所示，
当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；
当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，
当m≥时，f(x)max＝f()＝．
故f(x)max＝．………………9分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，则0＜t≤k2，
故函数F(x)＝g(x)?g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2]
当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合
当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，
必须，
故实数k的取值范围是(0，)]．………………14分
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