2008－2009学年高三第二次调研考试试题
文科数学（必修＋选修I）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分． 第I卷1至2页，第II卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．
第I卷
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么
．
如果事件A、B相互独立，那么
．
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
．
球的表面积公式
，其中R表示球的半径．
球的体积公式
，其中R表示球的半径．
一、选择题：
1．设全集
，集合
，则下面结论正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
2. 若
的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
3. 函数
的最大值为
（A）1 （B） 
（C）
（D）2
4．若函数
的图象经过点（2，4），则
的值是
（A）
（B）4 （C）2 （D）
5．设函数
则
的值为
（A）－2 （B）2 （C）－4 （D）4
6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为
（A）
（B）
（C）
（D）
7．若离心率为
的椭圆
以双曲线
的焦点为焦点，则此椭圆的方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
8．
展开式中的常数项是
(A) －84 (B) 84 (C) －36 (D) 36
9. 若直线
将圆
的周长平分为长度相等的两部分，则
的最小值是
（A）2 （B）4 （C）
（D）
10．在某次数学测验中，学号为
的四位同学的成绩
，且满足
，则这四位同学的测验成绩可能有
（A）15种情况 （B）10种情况 （C）9种情况 （D）5种情况
11．若P是两条异面直线l，m外一点，则过点P
（A）有且仅有一条直线与l，m都平行 （B）有且仅有一条直线与l，m都垂直
（C）有且仅有一条直线与l，m都相交 （D）有且仅有一条直线与l，m都不相交
12．函数f(x)在定义域R内可导，若
，且当
时，
，则
的大小关系是
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应题号的横线上．
13．某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有教师中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为：
14．若a、b、c依次为△ABC三个内角A、B、C的对边，且acosB+bcosA=csinC，则角C的大小为：
15．若
、
满足约束条件
的最大值为：
16．若
，且
，则实数x的取值范围是：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填在答题卷相应题号的答题区中．
17．（本小题满分10分）
如图，已知
，
，且
，
．
（I）试用
表示
；
（Ⅱ）设向量
和
的夹角为
，求
的值．
18．（本小题满分10分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分配到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时被分配到
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人被分配到不同岗位服务的概率．
19．（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小．
20．（本小题满分12分）
数列
满足
，且
．
（I）求
，并证明数列
是等比数列；
（II）求
．
21.（本小题满分13分）
已知函数
，
在任意一点
处的切线的斜率为
.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若
在
上的最小值为
，求在R上的极大值.
22．（本小题满分13分）
如图，倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（I）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（II）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明
为定值，并求此定值．
2008－2009学年高三第二次调研考试试题
文科数学答案
一、选择题：每小题5分，共60分．
BABDB DCABD BD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷相应题号的横线上．
13．某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有老师中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n的值为：16
14．若△ABC三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且acosB+bcosA=csinC，则角C的大小为：
15．若
、
满足约束条件
的最大值为：2
16．若
，且
，则实数x的取值范围是：
三、解答题：本大题共6小题，共70分．把答案填在答题卷相应题号的答题区中．
17．（本小题满分10分）
如图，已知
，
，且
，
．
（I）试用
表示
；
（Ⅱ）设向量
和
的夹角为
，求
的值．
解：（I）设
，则
，
； …………3分
因
，
，
，
所以 
解得：
即 
． …………5分
（Ⅱ）由（I）知
，又
，
所以 
)
(
)=
，
…………8分
故 
． …………10分
18．（本小题满分10分）
甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分配到
四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时被分配到
岗位服务的概率；
（Ⅱ）求甲、乙两人被分配到不同岗位服务的概率．
解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时被分到岗位服务为事件
，
那么
，
即甲、乙两人同时被分到岗位服务的概率是
． …………5分
（Ⅱ）设甲、乙两人同时被分到同一岗位服务为事件
，
那么
，
故甲、乙两人被分到不同岗位服务的概率是
． …………10分
19．（本小题满分12分）
如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，AB=AD=
，CA=CB=CD=BD=2．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的大小．
解:(方法一)
（Ⅰ）连结OC．∵BO=DO，AB=AD，
BC=CD，
∴AO⊥BD，CO⊥BD． …………3分
在△AOC中，由已知得AC=2，AO=1，CO=
，
∴AO2+CO2=AC2，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∴AO
平面BCD． …………6分
（Ⅱ）分别取AC、BC的中点M、E，连结OM、ME、OE，则
ME∥AB，OE∥DC．
∴
（或其补角）等于异面直线AB与CD所成的角． …………9分
在△OME中，
又
是直角△AOC斜边AC上的中线，∴
∴
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
…………12分
(方法二)
（Ⅰ）同方法一． …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：AO⊥OC，AO⊥BD，CO⊥BD．
以O为原点，建立空间直角坐标系如图， …………7分
则A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(-1，0，0) ． …………10分
所以 
，
∴异面直线AB与CD所成角的大小为
…………12分
20．（本小题满分12分）
数列
满足
，且
．
（I）求
，并证明数列
是等比数列；
（II）求
．
解：（I）
，
； …………2分
又，
， …………4分
且 
所以数列
是以-2为首项，3为公比的等比数列． …………6分
（II）由（I）得
， 
． …………8分
…………10分
…………12分
21.（本小题满分13分）
已知函数
，在任意一点
处的切线的斜率为
.
（I）求函数
的单调区间；
（II）若
在
上的最小值为
，求在R上的极大值.
21. 解：（I）因
,所以
； …………2分
故 
, 
，
，
，
, 
. …………4分
由
知在
和
上是增函数，
由
知在（-1，2）上为减函数. …………8分
（II）由（I）知在（-3，-1）上是增函数，在（-1，2）上为减函数，
所以 在
上的最小值是
或
，极大值为
. …………10分
而
，
,
，
∴在上的最小值是
,∴
,
. …………12分
，
即所求函数在R上的极大值为
…………13分
22．（本小题满分13分）
如图，倾斜角为
的直线经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A、B两点．
（I）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（II）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明
为定值，并求此定值．
解：（I）设抛物线的标准方程为
，则
，从而
．
因此抛物线焦点F的坐标为（2，0），准线方程为
． ……………4分
（II）作AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C、D，
则由抛物线的定义知：|FA|=|AC|，|FB|=|BD|．
记A、B的横坐标分别为xA、xB，则
|FA|＝|AC|＝
解得
； ……………7分
|FB|＝|BD|＝
解得
． ……………9分
记直线m与AB的交点为E，则
，
所以
． ……………12分
故
． ……………13分
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